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课时跟踪检测(二十二)双曲线的简单几何性质
[A级基础巩固]
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()
A. 2 .
B. 2y[2
C. 4
D. 4y/2
解析:选C
* y2
双曲线方程可变形为4一会=1,所以次_4, a-29从而2〃一4,故选C.
2.如果椭圆S+*=l(o0,》0)的离心率为乎,那么双曲线芹一#=1的离心率为
B4
D. 2C?
D. 2
—朋 3 q2 +》2 5力2
解析:选A 由已知椭圆的离心率为得丁2 =3, .??。2 = 4方2.奇2= 次 =亦=
5 、归
??双曲线的离心率8=言一?
2 2
若双曲线与椭圆书+舄=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为尸一x,贝!!双曲
线的方程为()
A. y2—x2=96 B. j2—x2=160
C. y2—x2=80 D. y2—x2=24
解析:选D 设双曲线方程为J一矿二女人乂们,因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦 点为(0, ±40),所以 20,且一22=(40)2,得人=_24.故选 D.
若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的皿倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则 双曲线的标准方程为()
X2
一 *4
十1
R ——
皿4 4
已
?4
-立=1
8 1
疽2无
“8 4
解析:选B ?.?双曲线一个顶点的坐标为(0,2),
A
C
0=2,
双曲线的标准方程为十一乔=1.
根据题意,得2a+2b=y[lX2c, 即 a+b=y/2c.
又9:a2+b2=c29 且。=2,
a2+b2=c29
、。=2,
解得b=2,
.?.双曲线的标准方程为§ 一号=1
故选B.
侈选)已知入,凡分别是双曲线G j2-x2= 1的上、下焦点,点P是其一条渐近 线上一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则()
双曲线C的渐近线方程为y=±x
以F1F2为直径的圆的方程为/+)2=1
点P的横坐标为±1
APFiF2的面积为皿
解析:选ACD 等轴双曲线C: y2—x2=1的渐近线方程为j=±x,故A正确.由双曲 线的方程可知\F{F2\=2y[29所以以肌『2为直径的圆的方程为x2+/=2,故B错误.点P(x°,
yo)在圆x
yo)在圆x2+y2=2 ±,不妨设点P(x0,刘)在直线y=x上,所以
52,解得同=],
0—Xo
则点P的横坐标为±1,故C正确.由上述分析可得△PF/2的面积为|x2V2X1=V2,故
D正确.故选A、C、D.
6.已知点
6.已知点(2,3)在双曲线C: 4-1
Cw
疗=1(〃0,力0)上,C的焦距为4,则它的离心率为
4 Q
解析:由题意知点一乒=1, c2=a2+b2=4,解得0=1,
所以e=g=2
7.设双曲线C经过点(2,2),且与§一尸=1具有相同的渐近线,则C的方程为
渐近线方程为
解析:设双曲线C的方程为^-x2=2.将点(2,2)的坐标代入,得人=一3, ...双曲线C的
方程为于一3=1 .令;一*2=0,得y=±2x,即渐近线方程为y=±2x.
答案:立一正3 12=1
答案:立一正
3 12=1 y=±2x
8.已知定点A, 8且|A8|=4,动点P满足冏|-|PB|=3,则冏|的最小值为
解析:如图所示,点P是以A, 8为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|E4|
3 7
最小,最小值为0+。=成+2=成.
2 2
■IIIII9.已知双曲线E与双曲线去一3= 1共渐近线,且过点A(2“, -3).若双曲线M以
■II
III
双曲线E
双曲线E的实轴为虚轴,虚轴为实轴
试求双曲线M的标准方程.
解:由题意,设双曲线E的方程为芸一¥=心0).
?「点 A(2y[39 —3)在双曲线 E 上,二段)—(;)=
1 y2 y2
习,?,.双曲线E的标准方程为宜一a=l.
4
又双曲线Af与双曲线E互为共辄双曲线, 双曲线M的标准方程为彳一宜=1.
4
x2 v2
10.设双曲线不一苏=l(0s。)的半焦距为c,直线,过(%0), (0, b)两点,己知原点到 直线,的距离为乎C,求双曲线的离心率.
解:直线,的方程为f+,=L即bx+ay—ab=Q.
于是有| 方?0+。
于是有
| 方?0+。?0—ab\ y[3
所以ab=
V3
3
两边平方,得。2方2=会。4.
又 b2=c2-a2f 所以 I6a2(c2-a2)=3c\ 两边同时除以〃4,得3e4-16W+16=0, 解得e2=4或。2=;.
又 ba9
又 ba9
所以以=岬=1+牛2,
a1 a1
则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
[B级综合运用]
11.己知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线,与相交于A, B 两点,且48的中点为N(—12, -15),则E的方程为()
A立一止=
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