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课时跟踪检测(二)空间向量的数量积运算
[A级基础巩固]
已知两异面直线的方向向量分别为a, b,且|a|=|b|=L a b=-|,则两直线的夹 角为()
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析:选B 设向量缶力的夹角为们 则c os ?=满 =_§,所以。=120°,则两个方
向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
己知》是异面直线,且g_LZ, en田分别为取自直线⑥力上的单位向量,且m
=2ei+3e2, n=fcei—4e2, mln,则实数 A 的值为( )
A?_6
B.6
De —3
解析:选B 由m±n9得 ww=0, .?.(2幻+3。2)?(灯1—4e2)=0.」.2k—12=0.?L A=6.
3.(多选)如图所示,正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为g,对角线 46和8以相交于点0,则有()
Al
A. AiB*BiC=cP
B. AB -ACi=yj2a2
C. AB*AO=^2
D. BC DA; =
:安
:/ \
DV:
解析:选AC 连接Ai。,则ITS?就=瓦§?希方=|不§||畚|cos〈涂,兀方〉=皿gX”
a X cos 60°=〃.A 正确? AB AG =AB -(AB +~BC +CG) = AB2+AB BC + AB CG = a2,
故 B 错误.~AB - AO =~AB ^ACi =^AB -(AB + AD + AA;)=|( AB 2+AB - AD + AB -AA;)
= 2^2=2 |AB|2=|a2.C 正确. 就?痢=於?(就一而)=诙?就一诙而 = -q2.d
错误.
4.在四面体 OABC 中,OB=OC9 ZAOB=ZAOC=^9 则 cos 04, ~BC)=( )
Ai
c.
D. 0
解析:选 D ^^=~OA^(OC-~OB)=~OA^OC-~dA:OB=\OA\\OC\cos 04,
~OC)-\OA\\OB^cos COA, ~OB),因为〈及\ ~OC)= OA, ~OB)=§, \OB\=\OC
I,所以 ~0A^BC=Q9 所以 ~0AaJbC ,所以 cos COA, ~BC} =0.
5.己知在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中,AA{=AB=AD=19且这三条棱彼此之间的
夹角都是60°,则ACi的长为()
B?W
D.^3
A. 6
C. 3
解析:选 B il AB =a, AD=bf AAi=c,
则 \a\=\b\=\c\=l9
且〈a, b〉=〈b, c) = c, a) =60°,
因此a?b=b?c=c?ct=5
由AG=q+8+c 得
|AG|2=AG2=q2+a2+c2+2〃?a+2A?c+2c?q=6.
:.\ACi\=y[69 故选 B?
6.己知空间中四点A, B, E, C, = AB BC,则、方 ~CE.
解析:~AB ^BE =~AB ^BC 9 则~Ab CbE-~BC)=~AB^CE=O.:.^B±~CE.
答案:±
7.已知 a, b 是空间两个向量,若|a|=2, |b|=2, |a—b|=J^,见)cos〈a, b〉=
解析:将\a—b\=y[7两边平方,得(〃一力尸=7.
因为|a|=2, \b\=29所以
又 0?方=|g||》|cos〈a, b)9
故 cos〈〃,b)
8.如图,在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中,设 AD=AAi = 19 AB=
2, P是CiZ)i的中点,则京与帝所成角的大小为 ;
诙涂= .
解析:法一:连接AiO,
则ZPAxD就是3iC与AiP所成角.连接PD,在△RD 中,易得PAi=DAi=PD=yf29
即△P4]为等边三角形,从而ZB4iZ)=60o,即BiC与AiP所成角的大小为60。.因此BiC AiP =yf~2 X yf~2 X cos 60°=l.
法二:根据向量的线性运算可得诙?帝=(!+而)?(莅
由题意可得 PAi=BiC=申,则V2xV2Xcos BiC, AiP =1,从而〈BC, AiP = 60°.
答案:60° 1
9.在长方体 ABCD-AxBsCxDi 中,AB=AAi=2, AD=49 E 为侧面 AAxBxB 的中心,F 为AiQi的中点,求下列向量的数量积:
⑴尻?前;(2)诙诵.
解:
如图,设福=“,AD=bf AAi=c9 则\a\=\c\=29 |方|=4, G?b=b?c=c?a=0.
⑴反苏=五? ?(瓦言+击 1)=力
⑴反苏=五? ?(瓦言+击 1)=力
2(c—a)+b
= |ft|2=42=16.
?(g+c)=|c|2—|q|2=22—22=0.
?(g+c)=|c|2—|q|2=22—22=0.
(2)~BF 而=(B
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