课时跟踪检测（七） 空间向量在立体几何中的应用.docxVIP

课时跟踪检测（七）空间向量在立体几何中的应用 [A级基础巩固] 1.己知4(1, A.^TO 「晅 侦2 -1,2), 3(2,3, _1)， C(一 1,0,0),则△A3C 的面积是() B.V35 D遮 “ 2 解析：选C 易知 A8=(l,4, —3), AC=(-2,1, -2), A|AB |=a/26, I烹1=3, cos 〈而，京〉=购乂3一 39， AB, AC = 39 26 85. ]]7，? ?，《ABC 2.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD.4iBiGQi, 2.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD.4iBiGQi, De 1 =；威|.|京|sin〈沛,AC =面^ =2, AAi=3,则点8到直线AiC的距离为（ ） B瓯 ■K. 7 解析：选 B ?.?48=1, BC=29 AA1=3, .??41(0,0,3), C(l,2,0), 8(1,0,0), 二直线AC的方向向量A?C=（1,2, -3）. 又 V_BC= (0,2,0), 3. 诙在点上的投影长为|此|=相=甲 |AiC| .??点B到直线AiC的距离d= \BC\2~ iaIci 2 — 7 7 . （多选）如图所示，正方体ABCD-AiBiCiDi中，E, F分别在AiD, Ci AC AC上, 2 i 且AiE=^AiD, AF=^AC,则正确的选项为（.） A. EF至多与AiD, AC之一垂直 B- EF±AiD, EFLAC D. EH与BDi平行 /)iAi解析：选BD 如图，以D为坐标原点，分别以ZM, DC9 DDx 所在直线为x轴，）轴，z /)i Ai 3,则 E(l, 0,1), F(2,l,0), Ai(3,0,3), A(3,0,0), C(0,3,0), Z(0,0,0), 8(3,3,0), WO,0,3), A EF=(1,1, -1), AC =(-3,3,0),不方=(一3,0, —3), V EF-lr =0, EF AbD=O, :.EF±AC9 EF±AiD, B 正确，A 错误.由万荷=（一3, 一3,3）,诙=一;丽，故选项D正确，C错误. 4.如图所示，己知点P为菱形ABCD外一点，且B4_L平面ABCD, PA=AD=AC9点F为PC的中点，则二面角C?BF?D的正切值为（） c?平 =AD=AC=lf 则 BD=y[^, ...,0xyc解析：选D如图，连接位）交4C于点。，连接OF, ?.?四边形 4BCD为菱形，二。为AC的中点，AC±BD/：F为PC的中点,：.OF //PA/：PA±平面 ABCD, ：.OF±平面 ABCD.以。为原点，OB, OC, OF所在直线分别为x轴，）轴，z轴建立空间直角坐标系O-xjz,设 必 =AD=AC=lf 则 BD=y[^, ... ,0 x y c 0, 0 ,结合图形可知, oc=(o, 0 ,且炭为平面BDF的一个法向量.由诙 =（-平, =（-平,V。）诙=停°， 9,可求得平面BCF的一个法向量〃=（1,重,寸5）. cos 诙〉=华 sin (n, OC ) 5.如图，正方体ABCP-AiBiCiDi的棱长为1, E,尸分别是棱8C, OOi上的点，如果BiE±平面A时，则CE与￡＞尸之和为 解析：以Di为坐标原点，分别以DiAi, DiCi, OiD为*轴，y轴， Z轴，建立空间直角坐标系（图略），设CE=x, DF=y,则易知E（x,l,l）, A Cl E B/\ 人1 Bi F(0,0,l — y), 8(1, 1,1), .?诚=3—1,0,1), FB=(1,1, J), 6.正方体 6.正方体ABCD 由于BiE±平面ABF,所以海诙=(1,1, y)?3 由于BiE±平面ABF, 答案：1 AiBiCiPi中，E,尸分别是DiCi, AB的中点，则AiBi与截面A^ECF 所成的角的正切值为 ? 解析：设棱长为2,建立以Ai为原点，AS, AiDn AiA为x 轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则平面AiECF的一个法向量为 h=（-244）, AiBi的方向向量为（2,0,0）,设AiBi与截面AiECF的 夹角为们 则 sin 0= |cosAiBi〉|= HI cos 0= /? tan 0=y/2. 答案：皿 7.如图所示，在长方体 OABC-OiAiBiCi 中，04 = 2, AB=39 AAi=2, 是的中点. (1)求异面直线AOx与BiE所成角的余弦值; (2)作OiO_LAC于点D,求OxD的长. 解：⑴如图，建立空间直角坐标系. 由题设,知 4(2,0,0), 01(0,0,2), (2,3,2),顼 1,3,0), 所以A^ = (-2,0,2),麻=(一