布尔代数中的对偶原理_运算次序及简单列举法.docVIP

布尔代数中的对偶原理_运算次序及简单列举法 布尔代数中的对偶原理 、运算次序及简单列举法 Ξ 史天治 ()淮阴师范学院物理与电子学系 ,江苏 淮安 223001 摘 要 :本文创造性地提出和证明了布尔代数中的对偶原理和简单列举法 。简单列举法是证明布尔代数恒等式的简便 方法 。本文还讨论了代数运算次序并且纠正了目前有些数字电路教材中关于布尔代数运算次序的某些错误 ,指出布尔代数 运算次序应是 :括号 ,非 ,同或Π异或 ,与 ,或 。 关键词 :布尔代数 ;对偶原理 ;对偶算子 ;简单列举法 ;运算次序 ;德摩根定理 - ,A 的非与 A 的对偶本质上是一回事 。对在布尔代数中 对偶为 A 。由此可见 ,A 与 A互为对偶 ,从而对偶是一种对称 偶本质上是一种对称的关系 。一个表达式的对偶等于该表 的关系 。 达式中每个变量和每个算符以及关系符分别同时取其对偶 - - 定义 :若 A 为变量 ,则称 A 为原变量 ,A为反变量 ,A 与 A 并且保持原来的运算次序不变 ,而且原表达式与其对偶表达 () 称作互为对偶的变量 mutually opposing logical variables。而 0 式必然同时正确或同时错误 ,这一规律叫做对偶原理 。对偶() 与 1 称作互为对偶的常量 mutually opposing logical constants。 原理是代数的基本规律 ,它实质上是唯物辩证法对立统一规 定义 : 在 布 尔 代 数 中 共 有 5 个 算 符 , 在 这 5 个 算 符 中 , 律在代数中的具体体现 。 () ) ( ( 与算符与 + 或 算 符 称 作 互 为 对 偶 的 算 符 MUTUALL Y 1. 定义 、公理 、定理与原理) () OPPOSING LOGICAL OPERATORS它源出自于德摩根定理; () 代数替换公理 algebraic substitution axiom:在任一代数恒 () () ( 同或算符与 ? 异或算符也称作互为对偶的算符 它源出 等式中 ,每一个字母符号只是一个泛指的变量 ,因而可用其 ) ( 自于准德摩根定理; 而把非算符称作对偶算子 specific op2 (它形式的字母或恒等的函数表达式 只要用这些表达式替换 ) posing operator。在布尔代数中 ,唯独对偶算子是自对偶算符 ) 后等式两边均仍有意义替换 ,替换后等式仍成立 。其数学( ) self - opposing mathematical operator。 表达式为 :请看一下的真值表 : ( ) ( ) () () 若 f A ,B= g A ,B, hC ,D , , Z= hC ,D , , Z则1 2 ( ) ) (( ) ) (必有 f A ,h , C ,D , ,Z= g A ,hC ,D , ,Z。 代数替换2 - - - - 公理的实质就是可将任意的子函数视作一个 - - - - A ?B = A ? B = A〃B A B A + B A + B A〃B 变量 ,以便于用较简练的公式 ,分层次的处理较复杂的运算 。 A ?BA ? B () 代数是关于类的计算术 方法的数学分支 ,是数学的主要语 0 0 0 0 1 1 0 1 言 。科学的语言是数学 ,数学的语言是代数 。代数替换公理 0 1 0 1 1 0 1 0 是代数本质的体现 ,它适用于一切数学领域 。 1 0 0 1 1 0 1 0 ( ) 双重否定 公 理 double negation axiom: 双 重 否 定 等 于 肯1 1 1 1 0 0 0 1 = 定 ,其数学表达式为 A = A 。 ()A + B = A - B 1 () 变换公理 transformation axiom: 同时对任一代数恒等式 ()A + B = A + B 2 两端施加某一数学变换 ,则变换后等式仍成立 。其数学表达 显然有 ()A ?B = A + B 3 式为 : () () (() ) (() ) ()若 f A ,B= g A ,B,则必有 h f A ,B= h g A ,B。 A + B = A ?B 4 () () () 公式 1、2叫作德摩根公式 De Morgan’s formulae, 双重否定公理和变换公理均适用于一切数学领域 。 () () (公式 3、4叫作准德摩根公式 Quasi De Morgan’s for2 ( 定义 :设 A 为任意逻辑变量或逻辑运算符 以下分别简 - ) mulae。 ) ( ) 称为变量和算符,则 A 读作 A 非或 NOTA叫作 A 的对偶 。 () 广义德摩根定理 generalized De Morgan’s t