新高一数学衔接课第二讲-韦达定理.docx

word word PAGE PAGE 1 / 9 第 2 讲 一元二次方程根与系数的关系知识要点： 1 、韦达定理〔一元二次方程根与系数的关系〕 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两根分别为 x1 、 x2 ， 如此有： b x1 x2 a c x1 x2 a 证明：由求根公式可得： x1 b b2 2a 4ac  ， x2 b b2 2a 4ac ， x1 x2 2b b ， 2a a x1 x2 b b2 4ac 2a b b2 4ac 2a b b2 4ac ( )2 2a ( )2 2a b 2 (b 2 4a c . a 4ac) 2、韦达定理的逆定理： 假如两个实数 x1 ， x2 满足 x1 x2 b ， x1 x2 a c ，如此 a x1 、 x2 必为方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两根 . 证明：由 ax2 bx c 0(a 0) 得 ： x2 b x c 0 ， a a 又 x1 x2 b ， x1 x2 a c b ，所以 a a ( x1 c x2 ) ， a x1 x2 ， 所 以 x2 ( x x ) x x x 0 ，即 (x x )( x x ) 0 ， 1 2 1 21 2所以 x x1 或 x x 1 2 1 2 1 2 所以 x1 、 x2 必为方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两根 . 【典型例题】 例 1：关于 x 的方程值 .  2x2  (m 1)x 1 m  0 的一个根为 4 ，求它的另一个根与 m的 例 2： x1 ， x2 是方程 x2 2 x 1 0 的两根，求一个以 2x1 1 ， 2x2 1为根的一元二 次方程 . 例 3：假如 a 2 11a 16 0 ， b2 11b 0 ，求 b a . a b 例 4：假如 x1 ， x2 是方程 x2 2 x 0 的两根，试求如下各式的值 . 〔1〕 x 2 x ； 〔2〕 1 1  ； 〔3〕 ( x  5)( x  5) ； 〔4〕  x x . 21 2 1 2 1 2 2 x1 x2 例 5：关于 x 的方程 x2 (k 1)x 1 k2 4 1 0 ，根据如下条件，分别求出 k 的 值 . 〔1〕方程两个实根的乘积为 5 ； 〔2〕方程的两个实根 x1， x2 满 足 x1 x2 . 例 6： 设 x ， x 是二次方程 x x 5 0 的两根，求 x 3 6 x 2 的值 . 21 2 1 2 2 例 7：关于 x 的方程 x2 2 mx m 2 0 ，求： 〔1〕当 m为何值时，方程的两个根一个大于 0 ，另一个小于 0 ； 〔2〕当 m为何值时，方程的两个根都是正数； 〔3〕当 m为何值时，方程的两个根一个大于 1 ，另一个小于 1 . 例 8： 、 是方程 x2 7 x 8 0 的两根，且 ，不解方程，利用根与系数的关 系求 2 3  2 的 值 . 例 9：实数 a ， b ， c 满足 a 6 b ， c2 ab 9 ，求证： a b . 韦达定理练习： 1、方程 2x2 kx 10 0 的一个根为 2 ，求它的另一个根与 k 的 值 . 2、方程 x2 7 x 8 0 的两根为 x ， x ，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分 1 2 x1 x2 别为 和 . x2 x1 3、方程 x2 (2k 1)x k 2 2 0 的两实根的平方和等于 11 ，求 k 的值 . x y 14 4、解方程组： x2 y2 . 100 5、方程 x2 3x k 0 . 〔1〕假如方程两根之差为 5 ，求 k 的值； 〔2〕假如方程一根是另一根的 2 倍，求这两根之积 . 6、一元二次方程 x2 3 x 1 0 的两实数根分别为 ， ，求： 〔1〕 1 1 ； 〔2〕 ； 〔 3〕 3 3 ； 〔4〕 3 3 . 7、假如 m2 1 ， n 2 1 ，且 m n ， 求 m5 n5 的 值 . 8、当 a为何值时，方程 x2 2(a 4)x a2 0 有两个不相等的负数根？ 9、 ， 是方程 x2 2 x 5 0 的两个实数根，求 2 2 的 值 . 10 、关于 x 的方程 x2 2(m 2) x m2 5 0 有两个实数根，并且这两个根的平方和 比这两个根的乘积大 16 ，求 m的值 . 11 、设实数 m， n 满足 19m2 20m 1 0 ， n 2 20n 19 0 ，且 mn 1 ，求 2mn 3m n 2 的 值 . 、实数 a ， b 满足