二项分布和超几何分布的数学期望.pdfVIP

二项分布的数学期望 X～b(n,p)，其中 n≥1,0p1. P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n. EX=np,DX=np(1-p). 证明方法(一)： 将 X 分解成 n 个相互独立的，都服从以 p 为参数的(0-1)分布的随机变量之和： X=X1+X2+...+Xn,Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n. P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p. EXi=0*(1-p)+1*p=p, E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p, DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p). EX=EX1+EX2+...+EXn=np, DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p). 证明方法(二)： EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n-k) =np∑C(k-1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1) =np∑C(k,n-1)p^kq^(n-1-k) =np∑b(k;n-1,p) =np DX=npq 可用公式 DX=EX^2-(EX)^2 求出 EX^2=∑k^2b(k;n,p) =∑[k(k-1)+k]b(k;n,p) =∑k(k-1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p) =n(n-1)p^2∑b(k;n-2,p)+np =n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq =n^2p^2+npq 所以 DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2 =npq 二项分布和超几何分布的数学期望 X B n p 当 ～ ( ， ) 时， n n E X r r p q np r 1 p q ( ) =  C k n k  C  k  1 n k  n n 1   r 1 r 1 n 1 np np p q   ．  (  ) 为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质： a X b a E X b E c c a b c 性质1 若 ≤ ≤ ，则 ≤ ( ) ≤ ．特别地， ( )  ，这里的 ， ， 是 常数； c i n b 性质2 线性性：对任意常数 ，  1, 2, …, ，及 ，有 i E n cX b n c E X b (  )   ( )  ． i i i i i =1 i =1 X H n M N 下面计算超几何分布 ～ ( ， ， ) 的数学期望． 设想一个相应的不放回抽样，令 i