21、晶体中电子的平均速度和加速度金属、半导体和绝缘体.pptx

Page §5.8 晶体中电子运动的速度和加速度—电子的准经典运动一、准经典近似，电子的平均速度　晶体中电子的能带理论：在具有晶体的平衡对称性的电势能中，电子的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量本征值就是能带。　为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子态－－这是非常困难的。　原因：外加的电势能qV(r)可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平衡对称性。　解决办法：准经典近似－－把电子运动当作经典粒子来处理。固体中的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。Page 波函数并非是速度算符的本征函数表明处于 状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度　1、电子平均速度　由量子力学，电子的速度算符为　由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符p不对易Page 将算符　　作用到薛定谔方程的两端，分别得到： 将梯度算符作用到布洛赫函数：Page H中不显含k方程左边方程右边 上式两边相等，得到 上式整理得根据算符的厄米性质 上式乘以　　　并对晶体积分，积分结果等式右边为零：厄米算符的定义：Page 所以等式左边也为零：与（1）式比较，得到电子的平均速度：Page 2、能量和速度的关系　由（5）式，可知，电子的平均速度公与能量和状态（k）有关，由于速度是波矢的奇函数：　在能带的底部和顶部，斜率dE/dk=0，所以在带顶和带底电子的速度为零。Page 　在能带中处，速度的数值最大，如图拐点C。C　这种情况和自由粒子速度总是随能量增加而单调增加是显然不同的。Page 二、电子在外场作用下的加速度，有效质量　当对一维电子施加外场时，电子受到外场力的作用。单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：因能量与波矢由色散关系相联系，能量E变化意味着电子波矢k改变，故　K的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二定律的形式。但f是外力。Page （8）式化为上式表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为的自由粒子的运动—次准经典运动。因此称为有效质量。令Page 　在三维情况下，晶体中电子的有效质量是二阶张量，其分量为　由于有效质量是张量，所以电子的加速度一般与外力方向不一致。这是因为除了外力作用外，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由有效质量所概括。　有效质量取决于电子的状态，因为不同的状态能带的曲率不同。　一般而言，对于宽能带，E（k）随k的变化较大，有效质量小，而对于窄能带，有较质量较大。　紧束缚观点：原子外层电子波函数交叠较多，能带较宽，有较质量较小，而内层电子波函数交叠甚少，能带较窄，有较质量较大，定域性更强一些。　Page 以简立方为例，计算紧束缚近似下电子的有效质量：紧束缚近似下，简立方的s态电子的能量为：其它交叉项的倒数全为零。在能带底处：Page 在能带顶处：在能带：　上面讨论表明：在带底及带顶, m*=常数, 与自由粒子在实空间中的运动相似. 随着E的增大（见第一布里渊区的约化能带图）, 能带展宽越大, 也越大, m* 就越小. 此时电子越容易加速, 共有化运动的特征越明显。　晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量，是因为计入了周期场的影响，而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之间交换动量：有效质量大于零的情况，电子从外力场Ｆ获得的动量多于电子交给晶格的动量有效质量小于零的情况，电子从外场中得到的动量比它交给晶格的动量少。有效质量趋于无穷时，电子从外场中获得的能量全部交给晶格，这时，电子的平均加速度这零。Page 单位体积晶体中，其中一个波矢为的电子对电流密度的贡献为 §5.11 金属、半导体和绝缘体　　能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导电本领，有的表现为导体，有的表现为绝缘体和半导体。 一、满带不导电　首先讨论没有外加电场的情形。考虑一维布拉菲格子中与原子1s能级相对应的能带。能带中所有电子对电流的贡献为零。Page 这是因为波矢为kx和-kx的电子对电流的贡献成对抵消因而总电流为零。Page 现在设加上指向左方的外电场则有外加电场的情形每个电子均受到一电场力，使其波矢在经历Δt时间后的增加量可计算如下：Page 于是所有电子均右移使电子在k空间的分布如右图。満带不导电的解释：能量具有倒格子的周期性，图中位于π/a右方 Δk范围内的状态（现在是被电子占有的状态），完全等价于－ π/a左方Δk范围内的状态（现在是空态），因此两图的电子分布是完全等价的。Page 　一个电子的代表点越过位于π/a 的布里渊区的边界－－相当于又从位于－ π/a 的边界进入同一布里渊区。　有电场后，満带中电子的状态随时发生变化，但整体上的分布始终没有变化，仍保持对称分布。　所有电子对电流的贡献依然与无外电场时一样