直线与圆的综合.docxVIP

精选范本 精选范本 ,供参考！ 第 7 讲 直线与圆综合题 直线与圆的位置关系是高考常考的学问内容 . 对它们的讨论， 既可以从几何的角度来探究它们的位置关系， 又可以从方程角度来解决一些度量问题 (如类似阿氏圆一类问题 )，表达用代数方法研 究几何问题的思想 .对这类问题的考查 ,一般会涉及弦长， 距离的运算， 圆的切线及与点 （直线， 圆） 的位置关系判定问题等， 解答此类问题， 注意 “圆的特点直角三角形 ”是关键 . 同时直线与圆的综合问题仍可能会考查轨迹问题（隐形圆） ，与直线，圆有关的定点定值及与圆有关的最值问题等次类 问题综合性较强，除了几何问题代数化，有时通过精确作图，充分挖掘几何图形中所隐含的条件， 利用几何学问也能使问题较为简捷地得到解决． 【自主热身，归纳提炼】 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋ 2y－ 3＝0 被圆 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4 截得的弦长为 ． 解析 圆心为 (2，－ 1)，半径 r＝ 2. 圆心到直线的距离 d＝ |2＋ 2× － 1 － 3| 1＋ 4 ＝ 3 5 3 5 5 ， 2 55 所以弦长为 2 r2－ d2＝ 2 22－ 5 2＝ 5 . |精. |品. |可. |编. |辑. 如直 线 3x 4 y m 0 与圆 x2 y2 2x 4 y 4 0 始终有公共点，就实数 m 的取值范畴 是 ． 是 ． |习. |资. |料. 2 2  | 3 4 2 m |  m 5 5 解 由于 ( x ( y 1 ，所以由题意得： ≤1,化简得 5 即 0≤m≤10. （ 2021 ·南京）在平面直角坐标系 xOy 中，如直线 ax＋ y－2＝ 0 与圆心为 C 的圆 (x－ 1)2＋ (y－ a)2＝ 16 相交于 A， B 两点，且△ ABC 为直角三角形，就实数 a 的值是 ． 解析 圆心 C（ 1，a），半径 r=4，由于△ ABC 为直角三角形， a a 2 所以圆心 C 到直线 AB 的距离 d= 2 2 ，即 d= a2 1  2 2 ，解得 a=-1 ． 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0 ( m R) 相切的所 有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 解析 由直线 mx－y－ 2m－ 1＝ 0 得 m(x－ 2)－ (y＋ 1)＝0，故直线过点 (2，－ 1) ． 22当切线与过 (1， 0)， (2，－ 1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有 r＝ 1＋ 1＝ 2， 故所求圆的标准方程为 (x－ 1)2＋ y2＝ 2. 2 2 5. （ 2021 ·苏 北 四 市 ） 已 知 A, B 是 圆 C1 : x y 1 上 的 动 点 ， AB 3 ， P 是 圆 2 2 uuur uuur C2 : (x ( y 4) 1 上的动点，就 PA PB 的取值范畴为 ． 解析 将问题特别化，所求问题与两圆的详细位置无关，只与其相对位置有关， 故问题可转化为圆 C : x2 y2 1 与 2 2 中相应问题，这样易于解决 . 1 C2 : ( x 5） y 1 uuur uuur 如图，当 AB x轴，且 AB 与点 P 位于较近一侧时， PA PB 取得最小值， 此时， uuur uuur PA PB y )A2 (5 3 7 . ) A 2 同理，求得 uuur uuur PA PB max  2 (5 3 ) 13. 2  C1 P  C2 x uuur uuur 所以 PA PB / 的取值范畴为 [7,13] . B uuur uuur uuuur 2 2 1 或设设 AB 的中点为 M ， 【典例探究，形成方法】 直线与圆相交中的面积问题例 1（动直线） PA PB =2 PM x y 求两圆上的两点间距离的范畴） 4 动直线 y k ( x 与曲线 y 1 x2 相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取 |精. |品. |可. |编. |辑. 得最大值时， k 的值为 ． |学. |习. |资. |料. 解析 1 易得直线 y k (x 2) 过定点 C ( 2, 0) ， 曲线 y 1 x2 表示圆 x2 y2 1 的上半圆， S AOB 1 OA OB 2 sin AOB ，当 AOB 时， 2 AOB 的面积取得最大值， 如图作 OH AB ，在 Rt AOB 中， AB AO2 BO2 2 ， 就 OH 2 ，又在 Rt OHC 中， OC 2 2 ，所以 OCH ， 6 就 k tan( ) tan 5 3 6 6 3 ，故答案为