机理分析模型 PPT.pptx

机理分析模型 5、1 微分方程的建立 实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 :y=y(t)、 直截了当求特别困难 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 建立变量能满足 的微分方程 ？ 哪一类问题 在工程实际问题中 * “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化、 关键词“速率”、“增长” “衰变” ,“边际的” ,常涉及到导数、 建立方法 常用微分方程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分析法 建立微分方程模型时 应用已知物理定律, 可事半功倍 例5、1、1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内,该物体最初的温度是600c,3分钟以后 降到500c 、想明白它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却(加热)定律:将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时,T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差、 一、 运用已知物理定律 分析:假设房间足够大,放入温度较低或较 高的物体时,室内温度基本不受影响,即室温分 布均衡,保持为m,采纳牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。 建立模型:设物体在冷却过程中的温度为T(t),t≥0, “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为 数学语言 建立微分方程 其中参数k 0,m=18、 求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c, 该物体温度降至300c 需要8、17分钟、 二、 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不 变的特性,如封闭区域内的能量、货币量等、 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和 建立有关变量间的相互关系、 续例2、3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t),除考虑个 体的出生、死亡,再进一步考虑迁入与迁出的 影响、 在特别短的时间段Δt 内,关于P(t)变化的一个 最简单的模型是: {Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数} + {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} {Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量} 般化 更一 基本模型 不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程、 输入量:含系统外部输入及系统内部产生的量; 输出量:含流出系统及在系统内部消亡的量、 此类建模方法的关键是 分析并正确描述基本模型的右端, 使平衡式成立 例5、1、2 战斗模型 两方军队交战,希望为 这场战斗建立一个数学模型,应用这个模型达到 如下目的: 1、 预测哪一方将获胜？ 2、 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3、 计算失败的一方开始时必须投入 多少士兵才能赢得这场战斗？ 模型建立: 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数; y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数; 假设: 1)双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗, x(t)与y(t)都是连续变量、 2)Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵; 3)X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵; {Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 平衡式 即有 Δx =－ayΔt, 同理 Δy =－bxΔt, 三、 微元法 基本思想: 通过分析研究对象的有关变量在 一个特别短时间内的变化情况、 例5、1、3 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水,水从它的底部小孔流出,小孔的横截面 积为1平方厘米、 试求放空容器所需要的时间、 对孔口的流速做两条假设 : 1、t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t)、 2 、整个放水过程无能 量损失。 分析: 放空容器 ？ 容器内水的体积为零 容器内水的高度为零 模型建立:由水力学知:水从孔口流出的流 量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”,即 S—孔口横截面积(单位:平方厘米) h(t) —水面高度(单位:厘米) t—时间(单位:秒) 当S=1平方厘米,有 在[t,t+Δt ]内,水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh0), 容器中水的体积的改变量为 ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)