探究三角形面积公式的向量表示.doc

探究二角形面积的向量表示 陕西省洛南中学 殷冬生 、问题提出 二角形面积公式的表示形式有多种，常见形式有 公式 1: SAI 公式 2: SAl 公式 3: SAl 公式 4: SAl 公式 5: SAl 111 、 =—aha = 2 bhb = 2 chc ( ha ,hb, hc 依次是 a, b, c 边上的咼) 1 1 1 absinC acsinB bcsin A 2 2 2 = -abc (R是ABC的外接圆圆半径) 4R 1 —(a b c)r (r是ABC的内切圆半径) 1 二• p(p -a)( p -b)(p -c) ( ^-(a b c)是 ABC 的内切圆半径) 高中数学中引入了平面向量后，三角形的面积又可以用向量的坐标表示。 在 北师大版教材高中《数学5（必修）》中，第48面的例3给出了用平面向量的坐标 表示的三角形面积公式，并给出了证明过程。具体如下: 例 3 如图 2-8,在 ABC 中,AB = (x,y),AC = (u,), 1 求证：」ABC的面积S = -|x -yu|. 2 长度及夹角余弦，于是可依据上述三角形面积公式 2进行证明. 证明：^-| Ab| | Ac |si nA - | AB| | AC |2sin2 A 2 2 ,| AB|2 | AC|^(| AB| | AC|cosA)2 因为 AB = (x,y),AC =(u,),所以 S = 1 J(x2 + y2)(u2 + u2)_ ㈤ + yu)2 = 1 J(w _ yu)2 = ? | 净-yu |. 这就得到了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式: 二(x1, y1), AC 二(x2, y2),则 S ABC =㊁ 1 X1y2 - X2y1 |. 学生思考：1.上述三角形面积公式6推导过程中使用了哪些数学知识？公式推导的依据 是什么? 2.学习了空间向量后，你能用空间向量的坐标表示三角形的面积吗? 、师生探究 1.公式6的推导过程中用到了三角形的面积公式 2、向量的数量积的定义、性质极坐标表 公式6推导的依据是三角形的面积公式 2. 2.可以仿照平面向量表示三角形的面积公式的方法，用空间向量的坐标表示三角形的面 T r 在 ABC 中，若 A^(^,y1,z1),A^(x2,y2,z2),求」ABC 的面积 S. 解析：1| AB| | Ac |si n A二 1 JAB 2 2 t AB =(为,yi,zj, AC 二(X2,七述 二 S = ；「(xf yj zf)(x| y； zf) - MX? y°2 z^)2 二 1、X2y； x；y； y12z| x^ x；zf - 2玄2%『2 - - 2玄221勺 2 ；(咅丫2 - X2W)2 (%勺 -丫2可)2 (X^ -乂2©)2 即 SABc*(X1y2-X2y1)2 (也-以)2 皿-仙2 公式 7:在 ABC 中，若 AB = (x^ysZj’AC = (x2,y2,z2),则 ABC 的面积为 S.abc 二 J、(x』2 —X2%)2 W1Z2 - 丫2乙)2 (X1Z2 - X2Z1)2 . 四、应用举例已知心 ABC 的顶点 A (1,1,1), B (2,2,2), C (3,2,4) 1 求心 ABC 的面积. 分析：可直接套用公式 乙 也可先求两边及其夹角余弦，再代公式 2求解. 解解 ：AB= (1,1,1),AC= (2,1,3),二 c =|AB |= 73,b=|TC 卜 TT4,7b 7C = 6， Ab ac 6 .6 AB, AC = | AB|| AC | 后 714 J7 T Oc As,「. si nA=2 77 ••• ABC的面积为 S 二一bcsinA= — ,14 氏 2 2 五、师生反思 用向量的坐标表示二角形的面积，其意义不在于用向量的坐标表示二角形的 面积公式，而在于掌握用向量的坐标的计算三角形的面积 .