用向前差分格式计算初边值问题.docVIP

用向前差分格式计算初边值问题 题目 用向前差分格式计算如下热传导方程的初边值问题 已知其精确解为 考虑的问题 作为模型，考虑一维热传导方程： …………（1.1） 其中是正常数，是给定的连续函数。 现在考虑第二类初边值问题的差分逼近： 初始条件：…………（1.2） 边值条件：，，………（1.3） 假设和在相应区域光滑，并且在满足相容条件，使上述问题有惟一充分光滑的解。 网格剖分 取空间步长和时间步长，其中都是正整数。用两族平行直线和将矩形域分割成矩形网格，网格节点为。以表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；表示所有位于闭矩形的网点集合；是网格界点集合。 其次，用表示定义在网点的函数， 建立差分格式 将方程在节点离散化， ， …………（1.4） 对充分光滑的解，由Taylor展式： …………（1.5） …………（1.6） …………（1.7） （1.5）移项得： …………（1.8） （1.6）（1.7）相加得： …………（1.9） 将（1.8）（1.9）代入（1.4）得： …………（1.10） 其中， 舍去，得到逼近（1.1）的向前格式差分方程： ， ……（1.11） 其中，， 记 则由（1.4） 由（1.11） 截断误差 （3）.边界条件 在本题中，，，，， 稳定性分析 用傅里叶方法对差分格式进行稳定性分析 以表示网比，将（1.11）改写成便于计算的形式： （本题中） 以代入，得 消去，则知增长因子 由，得 即 只需 解得 所以向前差分格式的稳定性条件是 结论 抛物型方程的有限差分法的步骤大致可以归纳如下： 1.对区域进行网格剖分 2.在离散结点建立相应的差分格式 3.处理初边值条件 4.进行稳定性分析 由本题可以总结出，抛物型方程的有限差分法所得的数值解能够较好地逼近方程的精确 解，且区域剖分得越细，即步长越小，数值解与精确解的误差就越小，数值解越逼近精确解。 附录 MATLAB程序： 取，，则，满足稳定性条件 另取，，则，亦满足稳定性条件 另取，，则，亦满足稳定性条件 format long a=2; l=1; T=1; N=10; M=400; h=l/N; to=T/M; r=(a*to)/h^2; for j=1:N+1 x(j)=(j-1)*h; for k=1:M+1 t(k)=(k-1)*to; u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k)); end end u %求解精确解 for j=1:N+1 x(j)=(j-1)*h; us(j,1)=exp(x(j)); end for k=1:M+1 t(k)=(k-1)*to; us(1,k)=exp(2*t(k)); us(N+1,k)=exp(1+2*t(k)); end for k=2:M+1 for j=2:N us(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1); end end us %求解数值解 for k=1:M+1 for j=1:N+1 R(j,k)=abs(u(j,k)-us(j,k)); end end R %计算误差 Rmax=max(max(R)) %求误差的最大值 精确解与数值解的比较： x=0:0.1:1; hold on plot(x,u(:,M+1),b); plot(x,us(:,M+1),y); title(t=1，h=1/10，τ=1/400时精确解和数值解的比较) text(0.05,21,蓝：精确解); text(0.05,20,黄：数值解); hold off 取不同步长时的误差比较： x=0:1/10:1; y=0:1/20:1; z=0:1/40:1; hold on plot(x,R(:,M+1),b); hold off M分别取10，20，40 结论 抛物型方程的有限差分法的步骤大致可以归纳如下： 1.对区域进行网格剖分 2.在离散结点建立相应的差分格式 3.处理初边值条件 4.进行稳定性分析 由本题可以总结出，抛物型方程的有限差分法所得的数值解能够较好地逼近方程的精确 解，且区域剖分得越细，即