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一、填空题
z 2 z
1. 已知 z z( x, y) 由方程 xz ye y 0 确定 , 则 .
y
z Fy ez 2 y 2y ez
解 :
y Fz x yez x yez
z z
类题 : 已知 z z(x , y) 由方程 yz xe 1 0 确定 , 则 .
x
2 2
2. 函数 f ( x, y ) 2x 4 y 在点 P(2,1) 处沿梯度方向的方向导数为 .
解 : ∵ f x 4x , f y 8y , ∴在点 P(2,1) 处沿梯度方向的方向导数为
2 2
f f 64 64 8 2
x y
(2,1)
类题 : 函数 f (x , y) yex 在点 P(1, 3) 处沿梯度 gradf 方向的方向导数为 .
2 2 2
3. 曲面 x 2 y 3z 6 在点 (1,1,1)处的切平面方程为 .
解 : ∵曲面的法向量为 { , , } {2 ,4 ,6 } 2 2 2
Fx Fy Fz x y z , 其中 F x 2 y 3z 6 .
∴在点 (1,1,1)处的切平面方程为 2(x 1) 4( y 1) 6( z 1) 0
类题 : 曲线 x 2cos t , y 2sin t , z 6t 在点 t 处的切线方程为 .
4
1 y
4. 交换二次积分 I dy f (x, y)dx 的积分次序 , 得 I .
2
0 y
1 x
解 : 画图 知积分区域为 D : 0 x 1,x y x , 故 I dx f (x, y)d y .
0 x
2
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