函数的连续性及性质.docx

第 2.5 节 连续性 函数的连续性 连续顾名思义就是接连不断，日常生活中有许多连续变化的现象，例如 钟表上秒针的转动，气温的变化等等 . 具有接连不断这种性质的现象在数学上 如何刻画呢？ x0 1 x0 1 处 x1x1 x1 x1 y f1(x) x 1，  2 x1 y f2(x) x 1 1 x1 x1 x1 x1 y f3(x) x11 ，  x2, y f4(x) 0 , x, 其图形为： xx图 2.5.1 x x 图 2.5.1 由上面的分析，我们可以得出函数 y f (x)在点 x0 处连续的定义 定义 2.5.1 设函数 y f(x)在 x0的某邻域内有定义，如果 lim f (x) f (x0) x x0 则称函数 f (x)在x0处连续，并称 x0为 f(x)的连续点. 由此可见，函数在 x0点连续是函数在 x0 点有极限的一种特殊情况，即 极限值是函数值的特殊情况 . 若 lim f(x) f(x0)，则称 f(x)在 x0处左连续 ； x x0 若 lim f(x) f(x0)，则称 f(x)在 x0处右连续 x x0 显然，函数 f ( x)在x0处连续的充分必要条件是： 函数 f(x)在 x0处既 左连续又右连续 . 1 sinx a , x 0 x 例 2.5.1 已知 f (x) b , x 0( a 、 b为常数)在 x 0 1xsin , x 0 x 处连续，求 a和b . 解 由于 f (x) 在 x 0 处连续，于是 lim f (x) f (0) b x0 当然有 lim f(x) lim f(x) f(0) b 而所以即x 0 而 所以 即 lim f (x) lim (1 sinx a) 1 a ， x 0 x 0 x lim f(x) lim xsin 1 0 x 0 x 0 x 1 a 0 b 在定义 2.5.1中，若令 x x x0， y f(x0 x) f(x0) ，则当 x x0 时， x 0 ，于是有 lim y lim f(x0 x) f(x0) x 0 x 0 lim f (x) f (x0) lim f (x) f (x0) x x0 x x0 0 这里称 x为自变量 x的改变量 ，称 y为函数 f (x)的改变量 . 于是我们可得 到函数在 x0 处连续的另一形式的定义 . 定义 2.5.2 设函数 y f (x)在 x0的某邻域内有定义，如果 lim y lim f(x0 x) f(x0) 0 x 0 x 0 则称函数 f(x)在 x0处连续 . 定义 2.5.2表明，对于在点 x0连续的函数 f (x)，具有“自变量在 x0处 发生微小改变时，函数 f ( x)也只发生微小改变“的性质 . 在实际中，就意味 着对于自变量在 x0 处小的误差(改变量)所引起的函数值的误差(改变量) 也是比较小的 . 定义 2.5.1和定义 2.5.2从不同角度刻画了函数连续的本质 . 使用这两个定 义讨论问题时各有自己的方便之处 . 定义 2.5.3 如果函数 f(x)在区间 (a,b)内每一点都连续，则称函数 f (x) 在区间 (a,b)内连续,，并称 (a,b)为 f(x)的连续区间. 如果 f(x)在(a,b)内 连续，并在左端点 a处右连续，在右端点 b 处左连续，则称 f (x) 在区间 [a,b]上连续 . 从几何上看，在一个区间内每一个点都连续的函数，其图形应该是没有 中断的，这时可以一笔画出其图像 . 我们已经证明：多项式函数和有理函数在其定义域内任一点的极限等于 其在这一点的函数值，所以多项式函数和有理函数在其定义域内连续 例 2.5.2 证明函数 y sin x 在 ( , ) 内连续 . x 在点 x0 处有改证 设 x0是区间 x 在点 x0 处有改 y sin( x0 x) sinx0 2sinxcos(x y sin( x0 x) sinx0 2sin x cos(x0 2x) 由于 cos(x0 1， 而 lxim0sin 2x 0，因此 |2sin 2x || cos( x0 2x) | 0 即有 lim y lim 2sin x cos(x0 x) 0 x 0 x 0 2 2 于是由定义 2.5.2 知， y sin x在x0处连续. 又因 x0是区间 ( , )内的任 意点，所以 y sinx在( , )内连续 . 可以证明， 基本初等函数在其定义域内都是连续的 . 实际上，从前面讲到 的六种基本初等函数的图形也可以看出，它们在其定义域内是一条连续的曲 线. 函数的间断点 由定义 2.5.1可知， x0为函数 f (x) 的连续点，必须满足下面三个条件： (1) f (x) 在x0处有定义； (2) lim f (x)