近世代数复习提纲资料.pdf

近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2 ）逆元的唯一性； （3 ）( ab) 1 b 1a 1 , (a 1 ) 1 a ； （4 ）ab ac b c ； （5 ）ax b x a 1b ； ya b y ba 1 。 3、元素的阶 使 am e成立的最小正整数 m 叫做元素 a 的阶，记作 |a | m ；若这样的正 整数不存在，则称 a 的阶是无限的，记作 |a | 。 （1）| a | |a 1 | , | a | | g 1ag | ( g G ) 。 （2 ）若 am e ，则 ① | a | m ； ② | a | m 由 an e可得 m | n 。 （3 ）当群 G 是有限群时， a G ，有 | a | 且 | a | |G | 。 r n （4 ）| a | n | a | ，其中 d (r , n) 。 d n r 证明 设 r | r d n d n 。 | a | k 。因为 (a ) (a ) e ，所以 k d r k rk n r r n 另一方面，因为 (a ) a e ，所以 n rk ，从而 k ，又 ( , ) 1， d d d d n n 所以 k ，故 k 。 d d | ab | | a || b | (| a | , |b |) 1 | ab | | a || b | 注： 1 ，但若 ab ba ，且 ，则有 （P70.3 ）。 2 |G | a G , | a | ；但 a G , | a | |G | 。 例 1 令 G { a C | n Z , a n 1} ，则 G 关于普通乘法作成群。显然， 1 是 G 的单位元，所以 a G ，有 | a | ，但 |G | 。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合 A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合 A 上的变 换群。 （1）变换群的单位元是 A 的恒等变换。 （2 ） A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成 A 上最大的变换群。 （3 ）一般地，变换群不是交换群。 （4 ）任一个群都与一个变换群同构。 4 、置换群：有限集合 A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置 换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例 2 设 (123) , (13)(24) 是 S 中元素，求 。