函数的基本性质——单调性与最大(小)值.docx

函数的基本性质——单调性与最大 ( 小) 值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概 念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图 象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的 单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1．复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。为 了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先 分别画函数 y x2 和 y x3的图象。 y x2 的图象如图 3 1， y x3 的图象如图 2． 2．引入：从函数 y x2 的图象(图 1)看到： 图象在 y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当 x在区间 [0，+ )上取值时，随着 x的增 大，相应的 y 值也随着增大，即如果取 x1,x2∈[0，+ )，得到 y1=f (x1)，y2=f(x2)，那么当 x1 x2 时，有 y1 y2 。 y 这时我们就说函数 y=f(x)=x2在[0，+ )上是增函数。图象在 y 轴的左 f(x) 侧部分是下降的，也就是说，当 x在区间(－ ，0)上取值时，随着 x的增 大，相应的 y 值反而随着减小，即如果取 x1,x2∈(－ ，0)，得到 y1= f(x1)， y2 = f (x2) ，那么当 x1x2 时，有 y1 y2。 f (x1) f(x2 ) x1 x2 图3 这时我们就说函数 y =f (x) =x2在(－ ，0)上是减函数。 函数的这两个性质， 就是今天 我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数 f (x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ，(1)若当 x1x2时，都有 f(x1) f(x2)，则说 f (x) 在这个区间上是 增函数(如图 3)；(2)若当 x1 x2时，都有 f(x1) f ( x2 ) ，则说 f(x) 在这个区间上是减函数 如图 4) 说明：函数是增函数还是减函数， 是对定义域内某个区间而言的。 有的函数在一些区间上 是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数 y x2(图 1)，当 x∈[0 ，+ )时是增 函数，当 x∈(－ ，0)时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 f ( x)在这一区间具有(严格 的)单调性，这一区间叫做函数 f (x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的 yf (x1)f (x2)xx1 y f (x1) f (x2) x x1 x2 图5 (2)应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就 不能保证函数是增函数 (或减函数)，例如，图 5中，在 x1 , x2那样的特定位 置上，虽然使得 f(x1) f ( x2 )，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； 3)除了严格单调函数外， 还有不严格单调函数， 它的定义类似上述 的定义，只要将上述定义中的“ f (x1) f(x2)或 f (x1)f(x2)，”改为“ f(x1) f(x2) 或 f (x1) f (x2) ，”即可； 4)定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律： 自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增， 自变量的变化与函数 值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为 减函数。 三、讲解例题 -5 -2 O 1 3 5 x例 1：如图 6 是定义在闭区间 ［ －5， 5］上的函数 y f (x)的图象，根据图象说出 -5 -2 O 1 3 5 x 解：函数 y f (x)的单调区间有 ［－5，－2)，［－2， 1)，［1，3)，［3，5］，其中 y f (x)在区间［－5，－2)，［1， 3)上是减函数，在区间 ［－2，1)，［3 ，5］上是增函数。 说明：函数的单调性是对某个区间而言的， 对于单独的一点， 由于它的函数值是唯一确定 的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数 或分段连续函数， 对于闭区间上的连续函数来说， 只要在开区间上单调， 它在闭区间上也就单 调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连 续的函数，单调区间不包括不连续点。 例 2：证明函数 f (x) 3x 2在 R上是增函数