高中竞赛之重要不等式.docx

高 中 竞 赛 之 重 要 不 等 式 1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理 1 对任意实数组 ai , bi( i 1,2,L , n) 恒有不等式 “积和方不大于方和积 ”，即 等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明 1 n 左= abi2 2 aibiajbj ∴右 -左= i 1 i j 当且仅当 时，等式成立。 柯西不等式的两个推论： ⅰ．设 当且仅当 ⅱ．若 （分母作和） 同号（ ，且 ），则 时取等号。 ，则 由柯西不等式可以证下面的不等式。 3 次可以推广为 4、 5 等 n 次。 证明 :对 (a13 +a 23 +a33 )(b13 +b 23 +b33 ) 和 (c13 +c23 +c33 )(a 1b1c1 +a 2b2c2 +a3b3c3 ) 3 分别用柯西不等式 , 可得到两个不等式 ,将这两个不等式相乘 , 再用一次柯西不等式即可证明原 不等式 . 柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数， k 0 且 k 1 ，则 L L （ ） （ ） 当且仅当 a1 b1 a2 b2 an a bn b 时等号成立。 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式： 若记 ， (a (a1 特例： a12 a2 L am) 2 b12 a22 b22 多个根式可转化为一个根式。 赫尔德不等式 已知 （ 上式中若令 等式。 1 2 2 〔排序不等式，排序原理〕 设 a1 a2 an， b1 右图给出了对上式的一个直观理解。 ，则上式为 (b1 b2 L bm )2 L am2 bm2 ）是 个正实数， ，则 ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不 （给的是两列数且为对称的） b2 bn ，则有 1 1 n 1 n 1 n n ai bn 1 i i1 i n ai bti i1 i n ai bi ． i1 i 即“反序和” “乱序和” “同序和”．其中 t 1 , t2 , , tn 1,2, , n ．当 且仅当 a1 a2 an或b1 b2 bn时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕 实数 ai， bi 满足 a1 a2 n ）．则 n i 1 ai bi n i 1 ai n i 1 bi 当且仅当 a1 a2 an或 b1 an， b1 b2 bn （i 1， 2 ，…， 1 n in i ai bn 1 i ． 1 b2 bn时等号成立． 下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。 如图，矩形 OPAQ中， 显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和， 图中线段 MN向上翻折比较即知）。于是有 3 琴生不等式 〔凸函数定义〕 1．设 f x 意 0,1 ，有 ，也即 是定义在闭区间 a , b 上的函数，若对任意 x， y f x 1 y f x 1 f y