高数下期中考试.docx

x y2y1 x y 2 y 1 y y y 2 高等数学（下册）期中考试 汇编 (2013-5-5) 一、解答下列各题（ 7 10 70 分） 1. 设 u xy x y exyz ，求 d z (1,2,0) r r2. 设曲线为 r r (t ) (t3 ,t 2 , t) ，求它在对应于 t 1的点处的切线方程和法平面方程 r r 3. 设有球面 x2 y2 z2 14 ，求它在 (3,2,1) 处的切平面方程和法线方程 . 4. 设由方程 x2 2y2 3z2 xy z 9 0 可确定 z z( x , y) ，求 z 在 P(1, 2,1) 处的值 . 5. 设积分区域 由抛物面 z x2 y2 及平面 z h 0 所围成。求 z2 dv 6. 计算二重积分 I (1 x2 D 所围在第一象限的区域 . y2 ) d ，其中 D 是由 x2 y2 a2 和 x2 y2 ax及 x 0 1 y 7. 计算二重积分 I 12d y 1 exdx 4 2 1 d y exd x . 8. 在圆锥面 Rz h x2 y2 与 z h ( R 0, h 0) 所围的锥体内作一个底面平行于 xoy 面的最大长方体，求此长方体的体积 . 9. 在一个侧面为旋转抛物面 4z x2 的水，问水面比原来升高多少？ 10. 求向量值函数 f 的导数，其中 f y2 的容器内装有 8 (cm 3 ) 的水，现注入 128 (cm 3) xcos y , yex ,sin( xz) T . ,y 2 0z , y 2 0 z h , x y x y 0 y x dy (1 y x y . 二、设 z f ex y , x ，其中具有二阶连续偏导数，求 2 f 三、讨论函数 f ( x, y) ( x2 y 2 ) sin 0 1 x2 x x2 y2 , x2 在 (0,0) 点是否连续，是否可微 . y 2 0 四、 设 是由曲面 z a2 x2 轴的转动惯量 I z . y2 及 z x2 y2 a (a 0) 围成的空间立体， 求 对oz 五、 设 f (t)在 [0 , ) 上连续， 且满足方程 f (t) 1 z2 f 1 2 不等式 0 2 2 4t 2 所确定，求 f (t ). x2 y2 d v， 其中 是由 (2012-4-21) 一．填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1．曲线 x t 2， y 2t , z t 上相应于 y 2 的点处的切线方程是 2． u z arctan 在点 A(1,0,1)处沿点 3．曲面 F ( x , y , z) x2 xy 2 y3 z A 指向点 B(3, 2,2) 方向的方向导数为 1 0 ，在点 M (2 , 1,6) 处的切平面方程为 4．若函数 f (x , y) 2x2 ax xy2 2y 在点 (1, 二．计算下列各题（每小题 9 分，共 54 分） 1）计算 I 1 1 ex) sin x dx 2）计算二重积分 sin x2 D y2 dxdy， D : 2 1) 处取得极值，则常数 a x2