讲义基本不等式.pdf

精品文档 第 3 讲 基本不等式 a ＋b 1．基本不等式 ab ≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a0，b0 ． (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 a ＋b 设 a0，b0 ，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算 2 术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知 x0 ，y0 ，则 (1) 如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝y 时， x ＋y 有最小值是 2 p ．(简记：积定和最小 ) 2 p (2) 如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x ＝y 时， xy 有最大值是 ．(简记：和定积最大 ) 4 [做一做 ] 1．已知 a，b ∈(0 ，＋∞ )，若 ab ＝ 1，则 a ＋b 的最小值为 ________ ；若 a ＋b ＝1，则 ab 的最大值为 ________ ． 1 2 4 1．辨明两个易误点 (1)使用基本不等式求最值， “一正，二定、三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2 ．活用几个重要的不等式 2 2 b a a ＋b ≥2ab(a ，b ∈R) ； ＋ ≥2(a ，b 同号 ) ． a b 2 2 2 2 a＋b a＋b a ＋b ab ≤ 2 (a ，b ∈R )； 2 ≤ 2 (a ，b ∈R )． 3 ．巧用 “拆 ”“ 拼 ”“凑 ” 在 运 用 基 本 不 等 式 时 ， 要 特 别 注 意 “拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等 技 巧 ， 使 其 满 足 基 本 不 等 式 中 “正”“定”“等”的条件． 考点一 __ 利用基本不等式证明不等式 __________ [规律方法 ] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满 足使用基本不等式条件的可通过 “变形 ”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上 一个数， “1” 的代换法等． a ＋b 1．“a0 且 b0 ”是“ ≥ ab ”成立的 ( ) 2 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 A 4 2 ．若 x1 ，则 x ＋ 的最小值为 ________ ． x －1 5 已知 a0，b0 ，a＋b＝ 1， 1 1 求证： 1＋ 1＋ ≥9. a b 精品文档