高等数学a1练习题a习题课.pptx

导数的应用习题课(4)一、 内容总结二、 作业讲析三、 典型例题讲析四、 练习题内容总结1、微分中值定理，L’Hospital法则⊙理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式⊙了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的 条件，会用Taylor公式进行近似计算⊙熟练掌握L’Hospital法则2、导数的应用⊙掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法⊙掌握利用函数单调性证明不等式的方法⊙理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值 的求法⊙明确函数的最值与极值在概念上的区别， 掌握最值的求法及其简单应用⊙了解函数曲线的凸性与拐点的概 念，掌握曲线的凸性与拐点的判定⊙会利用函数的单调性、极值、 凸性、拐点、渐近线等性态描绘 函数的图形作业中问题的讲析典型例题讲析例1设函数?(x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明在(a, b)内至少存在一点?，使分析 要证 ，即要证或可取 F(x) = (b-x)[?(x) -?(a)]，利用罗尔定理证明.证明 令 F(x) = (b-x)[?(x) -?(a)]，则有F(x)在 [a, b]上连续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知? ??(a, b)，使 ，即例2设 f (x) 在[a, b]上连续、在(a, b)内可导(a 0, b0),求证方程在(a, b)内至少有一个实根.分析 不可用介值定理证明 (不一定连续) ；考虑中值定理，为此方程变形为则若取有且证明 令则F(x)也在[a, b]上连续、在(a, b)内可导，且由罗尔定理知? ??(a, b)，使 ，即或即? 为原方程的一个实根.又证 取函数 f (x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.下面的证法为什么错了？f (x)在[a, b]上满足拉格朗日中值定理条件，故有又令F(x)=lnx ，它在[a, b]上也满足拉格朗日中值定理条件，故有两式相除得即故? 为原方程的一个实根.例3解讨论函数 在x=0点的连续性.其中又故而故 f (x) 在 x=0点连续.例4解求下列极限：故该极限不存在.注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.例5总结：求函数的极限，不要拘泥于L’Hospital法则，综合运用所学的方法，往往会有事半功倍的效果.解求下列极限：例6解 当k为何值时,方程 x-lnx+k =0在区间(0,+?) 上(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?记 有 ，故 x=1为极小值点，又 f(x) 在(0,+?)内只有一个驻点，所以f(1)为 f(x) 在(0,+?)内的最小值，且 fmin= f(1)=1+k又于是(1)当1+k0, 即k-1时, 原方程有两个相异实根；(2)当1+k=0, 即k=-1时,原方程有唯一的实根；(3)当1+k0, 即k-1时,原方程无实根.例7解证明当 时，sinx + tanx 2x取因此 在 上严格单调增，故从而 f (x) 在 上严格单调增，即亦即sinx + tanx -2x 0或sinx + tanx 2x例8解曲线 上那一点处的法线在y轴上的截距最小？设 在(x, y)处的法线为因 故 法线方程为整理后为求其极值：法线在y 轴上的截距为令 解得 x1=1, x2= -1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，从而在点(1, 1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.例9解当 a,b为何值时, 点(1,3)为曲线的 y=ax3+bx2 拐点？令 得当 时， ，曲线在 上严格上凸；当 时， ，曲线在 上严格下凸；当 时，于是点 为曲线唯一的拐点. 而要使(1,3)为拐点, 须,即课内练习题1. f (x)在[0,1]上可导，0f (x)1，在(0,1)内 ，证明在(0,1)内有且