度量空间的列紧性与紧性.pdf

1 . 4 度 量 空 间 的 列 紧 性 与 紧 性 1.4.1 度量空间的紧性 Compactness 在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成 立基于一个重要的事实： R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中 却未必成立． 例 1.4.1设 2 2 ，对于 f , g X ，定义 X L [ , ] { f | (L ) | f (x) | dx } 1 2 2 d ( f , g ) ( | f ( x) g ( x) | dx) ， 令 { f n (x)} {sin nx} ，那么 { f n (x)} 是有界的发散点列． 证明 由于 所以 { fn (x)} 为有界点列．对于任意的 n, m N ，有 因此 { fn (x)} 不是基本列，当然不是收敛列．□ 定义 1.4.1 列紧集、紧集与紧空间 Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace 设 X 是度量空间， A X ． (1)如果 A 中任何点列都有收敛于 X 的子列，则称 A 为列紧集 ( 或致密集 、或相对紧 集 ) ； (2)如果 A 是列紧集，也是闭集，则称 A 为紧集 ； (3)如果 X 本身是列紧集 ( 必是闭集 ) ，则称 X 为紧空间 ． 注 1：若 A 是 X 的列紧集， { X } A 且 x x (n ) ，那么 x A ？若 A 是 X 的紧集， n n 0 0 x A ？． 0 定理 1.4.1 设 (X ,d ) 是度量空间，下列各命题成立： (1) X 的任何有限集必是紧集； (2)列紧集的子集是列紧集； (3)列紧集必是有界集，反之不真． 证明 (1)、(2) 易证．下面仅证 (3) ． 假设 A X 是列紧集，但 A 无界．取 x A 固定，则存在 x A ，使得 d(x ,x ) 1 ．对于 x ,x ， 1 2 1 2 1 2 必存在 x A ，使得 d (x , x ) 1 、d (x , x ) 1 ．由于 A 是无界集， 可依此类推得到 X 的点列 { X } 3 1 3 2 3 n 满足：只要 i j ，就有 d (x , x ) 1 ．显然点列 { X } 无收敛子列，从而 A 不是列紧集导致矛盾， i j n 故 A 是有界集． 反过来， A 是有界集， A 未必列紧．反例：空间 2