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复数的基本知识 ———————————————————————————————— 作者 : ———————————————————————————————— 日期： 补充复数的基本知识 : １、虚数单位 由于在实数集 R 内负数不能开平方 ,所以在实数集内方程 x2 1 0 无解。 引入虚数 ,虚数单位符号为 j ,并规定 （1）它 的平方等于 -1 ，即 j 2 1 ； （2） j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成 立。 性质 : j 1 j ； j 2 1 ； j 3 j ； j 4 1 一般地，对于任意整数ｎ，有： 4 n 4n 1 4 n 2 4n 3 j 1; j j ; j 1 ; j j 2 、复数集 定义：形如 a bj (a, b R) 的数称为复数。 通常用大写拉丁字母 Z 表示一个复数，即 Z a bj (a,b R) 其中 a 称为复数 Z 的实部 , Re(Z ) a ； b 称为复数 Z 的虚部 , Im( Z ) b ; 举例： 2 3 j , - 1 5 j ，3 j 的实部、虚部 ? 有理数 实数 (b 0) 无理数 复数 a bj 纯虚数 (a 0) 虚数 (b 0) 非纯虚数 (a 0) 3、复数的相等及共轭复数 定义 :如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等 ,即 a bj c dj a c, b d 定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数 ,则称这两个复数互为共 轭复数。 复数 Z a bj 的共轭复数记作 Z a bj 例： 1 j, 2 3j 的共轭复数 注 : (a bj )(a bj ) a2 b2 ４、复数的几何表示（复平面 ) 任何一个复数 a bj 都可以由一对有序实数 (a,b) 唯一确定 ;反之 ,任何一 对有序实数 ( a, b) 都能唯一确定一个复数 a bj ；因此，复数 Z a bj 与平面 直角坐标系中的点 Z(a,b) 是一一对应关系。 于是 ,可以在平面直角坐标系中用 横坐标为 a ，纵坐标为 b 的点 Z (a, b) 表示复数 Z a bj 。 j 虚轴 a bj b 实轴 用来表示复数的直角坐标平面称为 复平面 。 复数 Z a bj 与复平面上的点 Z (a,b) 是一一对应关系。即 复数 Z a bj 点 Z(a, b) 矢量（或向量 )：既有大小又有方向 。矢量可以用带箭头的有向线段来 表示，箭头的方向表示矢量的方向 ,线段的长度表示矢量的大小。