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傅里叶变换本质及其公式解析 ———————————————————————————————— 作者 : ———————————————————————————————— 日期 : 傅里叶变换的本质 傅里叶变换的公式为 j t F ( ) f (t )e dt 可以把傅里叶变换也成另外一种形式 : 1 j t F ( ) f (t ),e 2 可以看出 ,傅里叶变换的本质是内积， 三角函数是完备的正交函数集 ,不同频率的三角函数的 之间的内积为 0,只有频率相等的三角函数做内积时，才不为 0 。 j t j t j ( )t e 1 , e 2 e 1 2 dt 2 ( 1 2 ) 下面从公式解释下傅里叶变换的意义 因为傅里叶变换的本质是内积 ,所以 f(t) 和 ej t 求内积的时候， 只有 f(t) 中频率为 的分量才 会有内积的结果 ,其余分量的内积为 0 。可以理解为 f(t) 在 ej t 上的投影 ,积分值是时间从负无穷 到正无穷的积分， 就是把信号每个时间在 的分量叠加起来 ,可以理解为 f （t)在 ej t 上的投影的 叠加，叠加的结果就是频率为 的分量，也就形成了频谱。 傅里叶逆变换的公式为 1 j t f (t ) F ( )e d 2 下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义 傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程 ,在 F ( ) 和 e j t 求内积的时候 , F ( ) 只有 t 时刻的 分量内积才会有结果 ,其余时间分量内积结果为 0, 同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分， 就是把信号在每个频率在 t 时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是 f(t) 在 t 时刻的值，这就回 到了我们观察信号最初的时域。 对一个信号做傅里叶变换 ,然后直接做逆变换， 这样做是没有意义的 ,在傅里叶变换和傅里叶 逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要 的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶 逆变换，就得到了没有噪声的信号。 优点：频率的定位很好 ,通过对信号的频率分辨率很好 ,可以清晰的得到信号所包含的频率成 分，也就是频谱。 缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加 ,所以 ,知道某一频率 ,不能判断 ,该频率的时 间定位。不能判断某一时间段的频率成分。 例子： 平稳信号 :x(t)=cos(2*pi ＊5*t) ＋ｃ o ｓ（2*pi*10 ＊t) ＋ｃ os(2*p ｉ*20* ｔ）+ ｃos( ２*pi*50 ＊ t) 傅里叶变换的结果： 由于信号是平稳信号，每处的频率都相等，所以看不到傅里叶变换的缺点。 对于非平稳信号：信号是余弦信号，仍然有四个频率分量 傅里叶变换的结果： 由上图看出知道某一频率 ,不能判断， 该频率的时间定位。