武汉大学2012-2013学年第二学期常微分方程A.pdfVIP

武汉大学 2012-2013 学年第二学期 一、求下列方程的通解或特解： （每题 7 分，共 70 分） dy 2 2 dy dy 2 ln ( ) 1 1、 y x，y e 2 、 y x xy dx dx dx 1 x x 3、 4 、 ( cot 2 cos ) 0 y 2 e dx e y y y dy x sin y xy 5、 x3 y 3 3xy 0 6 、 y y 2 ey 7、 xy y 4x , y(1) 0, y (1) 3 8 、 y 3y 4 y 0 dx x 5y dt x 9、 10 、 y 2 y 2 y 4e cosx dy 2x y dt 二、 (10 分，每题 5 分 ) 1、已知一平面曲线经过某定点 M 0 ，且曲线上一点 M ( M 0 除外 ) 的切线与直线 M M 的交 0 角恒等于定数 0 ，试求这条曲线所满足的微分方程。 2 、求具有特解 y1 2xe x , y2 3ex 的三阶实常系数线性齐次微分方程。 dx x y z dt dy 三、 （8 分）求一阶微分方程组 x y z 的通解。 dt dz x y z dt 2 四、（7 分）求方程 y xy y (y ) 的奇解，并证明方程的奇解也是方程通解的包络。 1 dy 3 五、 （5 分）能否用逐次逼近序列方法求初值问题 dx y 的解？请说明理由。