第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法.pptx

非平稳和季节时间序列模型分析方法 ;§8.1 ARIMA模型的分析方法;式(8.1)可以简记为： 式中， 为零均值白噪声序列。 由式(8.2)显而易见，ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合。这一关系意义重大，这说明任何非平稳序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳，就可以对差分后序列进行ARMA模型拟合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟，这意味着对差分平稳序列的分析也将是非常简单、非常可靠的了。 ;例如，设ARIMA(1,1,1)模型 图8.1是给出的ARIMA(1,1,1)模型一个模拟数据，样本容量为200，可以看出时间趋势是非常明显的。图8.2是经过一阶差分得到的数据。经过一阶差分我们看到下降的时间趋势被去掉，新的序列看起来是平稳的。;图8.1 ARIMA(1,1,1)模型一个模拟数据 图8.2 模拟数据的一阶差分数据 ;求和自回归移动平均模型这个名字的由来是因为阶差分后序列可以表示为： 式中， ，即差分后序列等于原序 列的若干序列值的加权和，而对它又可以拟合自回归移动平均(ARMA)模型，所以称它为求和自回归移动平均模型。 ;特别地， 当d=0时，ARIMA(p,d,q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型； 当p=0时，ARIMA(o,d,q)模型可以简记为IAM(d,q)模型； 当q=0时，ARIMA(p,d,0)模型可以简记为ARI(p,d)模型. 当d=1,p=q=0时，ARIMA(0,1,0)模型为： (8.3) 该模型被称为随机游走(Random Walk)模型，或醉汉模型。;随机游走模型的产生有一个有趣的典故。它最早于1905年7月由卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)在《自然》杂志上作为一个问题提出：假如有一个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ 考虑到他完全丧失方向感，那么他第步的位置将是他第步的位置再加一个完全随机的位移。用数学模型来描述任意时刻这个醉汉可能的位置，即为一个随即游走模型(8.3)。 ;1905年8月，雷利爵士(Lord Rayleigh)对卡尔·皮尔逊的这个问题作出了解答。他算出这个醉汉离初始点的距离为至的概率为： 且当n很大时，该醉汉离初始点的距离服从零均值正态分布。这意味着，假如有人想去寻找醉汉的话，最好是去初始点附近找他，该地点是醉汉未来位置的无偏估计值。 作为一个最简单的ARIMA模型，随机游走模型目前广泛应用于计量经济学领域。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机游走模型，随机游走模型也是有效市场理论(Efficient Market Theory)的核心。;8.1.2 ARIMA模型的性质;因为阶差分后平稳，服从ARMA(p,q)模型，所以不妨设 则 (8.4) 由式(8.4)容易判断，ARIMA(p,d,q)模型的广义自回归系数多项式共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。因为有d个特征根在单位圆上而非单位圆内，所以当 时，ARIMA(p,d,q)模型不平稳。;二、方差齐性 对于ARIMA(p,d,q)模型，当 时，不仅均值非平稳，序列方差也非平稳。以最简单的随机游走模型ARIMA(0,1,0)为例： 则 这是一个时间的递增函数，随着时间趋向无穷，序列 的方差也趋向无穷。 但1阶差分之后， 差分后序列方差齐性 ;8.1.3 ARIMA模型建模;;8.1.4 ARIMA模型预测;如果把 记为广义自相关函数，有 容易验证 的值满足如下递推公式： 式中， 那么， 的真实值为：;由于 的不可获得性，所以 的估计值只能为： 真实值与预报值之间的均方误差为： 要使均方误差最小，当且仅当：;所以，在均方误差最小的原则下，期预报值为： 期预报误差为