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复变函数 复变函数与实变函数微积分领域浅析 - 唐亮 复变函数论是数学中一个基本的分支学科， 它研究复变数的函数， 很幸运这 个学期选到陈老师的复变函数，受益匪浅。复变函数历史悠久，内容丰富，理论 十分完美， 应用也十分广泛。 首先略微简述一下复变函数的历史。 复数起源于求代数方程的根。 复变函数 论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那 样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。 当时的数学家公认复变函数 论是最丰饶的数学分支， 并且称为这个世纪的数学享受， 也有人称赞它是抽象科 学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 达朗贝 尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 他们都是创建这门学科的先 驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、 黎曼和德国数学家 维尔斯特拉斯。 二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展， 维尔斯特拉斯的学 生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作， 开拓了复变函数论更广阔的研究领域， 为这门学科的发展做出了贡献。 以下我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。 复变函数的微积分理论 ㈠复变函数的微分性质 我们知道函数的导数是由极限来定义的， 所以我先把复变函数的极限理论做 以梳理。 ①复变函数极限的概念：函数ω =f(z) 定义在 z0 的去心邻域 0＜│z-z 0 │＜ ρ内，如果有一确定的数 A 存在，对于任给的ε＞ 0，相应的必有一个正数δ ( ε) 0 0 使得当 0＜│z-z │＜δ（0＜δ≤ρ ) 时，有│ f(z)-A │＜ε。即称 z→z 是的 极限。另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的 ②复变函数导数的概念：设函数ω =f(z) 在包含 z 的邻域 D 内有定义，如果 0 极限 存在，那么 f(z) 在 z0 处可导（或可微）。 ③复变函数的求导法则： 与实变函数一样， 求导法则大致相同。 由以上的定义及性质可以看出复变函数中导数的定义与一元实变函数中导 数的定义在形式上完全一致 , 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中 一样 , 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来 , 且 证明方法也是相同的。 ④复变函数可微的必要、 充分、充要条件 ⒈ 必要条件，设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 可微，则必 Ⅰ偏导数 u 、u 、v 、v x y x 1 复变函数 y 在点 (x,y) 存在；Ⅱ u(x,y) 、v(x,y) 在点（x,y ），满足柯西 - 黎曼方程