拉普拉斯变换.ppt

第六章 拉普拉斯变换;本章基本要求;6.1 拉普拉斯变换的概念;一 Laplace 变换的定义;2 拉普拉斯变换研究的对象函数;3 从傅里叶变换推导拉普拉斯变换;从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普 拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-δt 的傅里叶变换。;4 Laplace变换的定义;而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数， 记作f(t)=L-[F(s)]，上式也称作黎曼-梅林 反演公式。;二 Laplace变换的存在条件;?0+i?;2 定理：若f(t)满足上述条件，则像函数 F(s)在半平面Resδ上有意义，而且是一 个解析函数。;三 例题;例2 Heaviside阶跃 函数:;例3 线性函数　f (t) = t (t 0):;例4;解：;6.2 基本函数的拉普拉斯变换;一 单位阶跃函数;三 函数tn（n-1)的拉氏变换;6.3 Laplace 变换的基本性质; Laplace 变换F(s) 的特性： （1） F(s) 在 Re(s)?0 的半 平面代表一个解析函数。 （2）当 |Arg s| ? ?/2 - ε (ε 0) 时： ;?;注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际 应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。;原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除;四 相似性定理 五 位移定理： 六 延迟定理： ;七 卷积定理:;八 像函数微分性质;即： 像函数求积分，相当于原函数除 t 的像函数。;十 关于参数的运算;十一 初值定理;十二 终值定理;例1（P205例10.3.4）;例2（P206例10.3.5）;例3（补充例题）求解初始问题;例4（补充例题）求解初始问题;例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）;6.3 Laplace变换的反演;关于 t 的微分方程　　 关于 p的代数方程　　 关于 p的代数方程　 原微分方程的解;一 有理分式的反演;例1 求 的原函数 （p208例10.4.1）;例2 求 的原函数 （p208例10.4.2）;例3 求 的原函数;通分后比较p的同次幂系数得： ;二 查表法反演;例5 求 的原函数。 解：由表查得 由位移定理： 因此原函数为 ;例6 求 的原函数 （p210例10.4.5）;*三 一般反演方法：黎曼-梅林反演公式 在 L 右边，像函数解析，无奇点。 故作围道 (L+CR) 在 L 的左边。 设 在 L 的左边只有有限个 孤立奇点 pk，由留数定理 因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂);Fourier变换与Laplace变换的比较;6.4 拉普拉斯变换应用举例;一 利用拉氏变换求积分;（2）若 ，则;（3）若 ，则利用基本公式11 和初值定理，得到;二 利用拉氏变换求解微分方程，积分方程;例2 L-R串联电路有交流源 E=E0sinωt, 求电路中的电流。;应用卷积定理;2021/6/20;其中;例3 （简明教程p61）求解积分方程;例4 （简明教程p60）求解方程组;