超详细高数中的重要定理与公式及其证明(一).docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 在这里，没有考不上的讨论生； 高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题， 而战胜证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明； 假如本着严谨的对待数学的态度， 一切定理的推导过程都是应当把握的；但考研数学究竟不是数学系的考试，许多时候要求没有那么高； 而有些定理的证明又过于复杂， 硬要要求自己把握的话许多时候可能是又费时又费劲，最终仍弄得自己一头雾水；因此，在这方面可以有所取舍； 现将高数中需要把握证明过程的公式定理总结如下； 这些证明过程， 或是直接的考点，或是包蕴了重要的解题思想方法， 在复习的初期， 先把握这些证明过程是必要的； 1）常用的极限 ln(1 x) ex 1 a x 1 (1 x)a 1 1 cosx 1 lim 1 ，lim 1，lim ln a ，lim a ，lim 2 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x 2 【点评】：这几个公式大家在运算极限的过程中都再熟识不过了，但有没有人想 1 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限 lim(1 x) x e 与 x 0 lim sin x 1的推论，它们的推导过程中也包蕴了运算极限中一些很基本的方法技 x 0 x 巧； 证明： lim ln(1 x) 1 ：由极限 lim(1 1 x)x e 两边同时取对数即得 lim ln(1 x) 1 ； x 0 x x 0 x 0 x ex 1  ln(1 x) lim 1 ：在等式 lim 1 中，令 ln(1 x) t ，就 x et 1；由于极限 x 0 x x 0 x 过程是 x 0 ，此时也有 t ，因此有 lim t 1 ；极限的值与取极限的符号 t 0 et 1 ex 1 是无关的，因此我们可以吧式中的 t 换成 x ，再取倒数即得 lim 1 ； x 0 x ax 1 ax 1 ex ln a 1 lim ln a ：利用对数恒等式得 lim lim ，再利用其次个极限可 x 0 x x 0 x x 0 x ex ln a 1 ex ln a 1 a x 1 得 lim ln a lim ln a ；因此有 lim ln a ； x 0 x x 0 xln a x 0 x 跨考魔鬼集训营 01 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - - 精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 在这里，没有考不上的讨论生； lim (1 a 1 a ：利用对数恒等式得 x 0 x a aln(1 x )  a ln(1 x )  a ln(1 x ) lim (1 x) 1 lim e 1 a lim e 1 ln(1 x) a lim e 1 lim ln(1 x) a x 0 x x 0 x x 0 a ln(1 x) x x 0 a ln(1 x) x 0 x 上式中同时用到了第一个和其次个极限； lim  cosx  1 ：利用倍角公式得  lim  1 cos x  lim 2sin 2 x 2  1 lim 2 sin x 2 1 ； x 0 x2 2 x 0 x2 x 0 x2 2 x 0 x 2 2 2）导数与微分的四就运算法就 (u v) u v , d( u v ) du dv (uv) u v uv , d( uv) vdu udv vu ( ) v2 uv , d( u ) vdu udv (v 0) v v2 【点评】：这几个求导公式大家用得也许多，它们的证明需要用到导数的定义； 而导数的证明也恰恰是许多考生的薄弱点， 通过这几个公式可以强化相关的概念，防止到复习后期成为自己的学问漏洞； 详细的证明过程教材上有， 这里就不赘述了； 3）链式法就 设 y f (u), u (x) ，假如 ( x) 在 x 处可导，且 f (u) 在对应的 u ( x) 处可导， 就复合函数 y f ( ( x)) 在 x 处可导可导，且有： 【点评】：同上； 4）反函数求导法就  f ( (x)) f (u)  (x)或 dy dy du dx du dx 设函数 y f ( x) 在点 x 的某领域内连续，在点 x0 处可导且 f ( x) 0 ，并令其反函 数为 x g( y) ，且 x0 所对应的 y 的值为 y0 ，就有： 0g ( y ) 0 1 或 dx 1 f ( x ) f ( g(