2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质课件新人教A版选修4-5.ppt

类型三　利用不等式的性质证明简单不等式 【典例】已知ab0,cd0,求证: 【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么? 提示:证明的关键是由不等式的性质得到a-c与b-d的大小关系. 【证明】因为cd0,所以-c-d0, 又ab0,所以a-cb-d0, 所以0 ,再由0ba, 所以 * 【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系 a-b0 a-b=0 a-b0 2.不等式的基本性质 (1)对称性:ab?____. (2)传递性:ab,bc?____. (3)可加性:____?a+cb+c. ba ac ab (4)可乘性:如果ab,c0,那么______; 如果ab,c0,那么______. (5)乘方:如果ab0,那么an__bn(n∈N,n≥2). (6)开方:如果ab0,那么 __ (n∈N,n≥2). acbc acbc 【即时小测】 1.若ab0,则下列结论不正确的是　(　　) A.a2b2 B.aba2 【解析】选A.因为ab0,所以0-b-a, 故B,C,D都正确,A错误. 2.下列不等式: (1)x2+32x(x∈R). (2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R). (3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数　(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+20, 所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定, 所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正确. 【知识探究】 探究点　不等式的基本性质 1.若ab,cd,那么a-cb-d吗? 提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性. 如21,51,但2-51-1不成立. 2.若ab,cd,一定有acbd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立. 【归纳总结】 1.符号“?”和“?”的含义 “?”与“?”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件. 2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+bc?ac-b.性质(3)是可逆的,即ab?a+cb+c. 3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的. 4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2”都需要注意. 类型一　作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么? 提示:常用作差比较法. 【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4) =(m-n)m3-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2) 又m≠n,所以(m-n)20, 因为 所以x-y0,故xy. 【方法技巧】作差比较法的四个步骤 【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_________. 【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥10, 所以f(x)g(x). 答案:f(x)g(x) 2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2 =x2(x-y)-y2(x-y) =(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y), 因为x0,y0, 所以(x-y)2(x+y)≥0, 所以x3+y3≥x2y+xy2. 类型二　不等式性质的简单应用 【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)ab0,则 (2)cab0,则 (3)若 ,则adbc. (4)设a,b为正实数,若a- b- ,则ab. 【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断. 【解析】(1)因为ab0,所以ab两边同乘以 得 得 ,故正确. (2)因为c-a0,c-b0,且c-ac-b 所以 0, 又ab0,所以 ,正确. (3)由 ,所以 0, 即adbc且cd0或adbc且cd0, 故不正确.