（北师大版）陕西省蓝田县高中数学第四章导数应用4.2.2最大值最小值问题课件选修1-1.ppt

4.2,2导数的应用 导数与函数的单调性、极值 1．函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)___0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)___0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数极值的概念 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x0)是极小值． f′(x)0 f′(x)0 f′(x)0 f′(x)0 (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程__________的根； ③检查f′(x)的方程_________的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． f′(x)＝0 f′(x)＝0 极大值 极小值 1．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与________． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的________；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与__________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 导数与函数的最值及在实际生活中的应用 最小值 最大值 f(a)，f(b) 2．解决优化问题的基本思路 1．本部分知识可以归纳为 (1)三个步骤：求函数单调区间的三个步骤：①确定定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)0(或f′(x)0)求出相应的单调区间． (2)两个条件：①f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件． ②对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想． 3．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 利用导数研究函数的单调性 1．由f′(x)0(f′(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间． 2．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． [解题指导](1)已知：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (2)分析：①由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行可知f′(1)＝0即可求出k的值；②由函数解析式，求导进而求出函数的单调区间．③构造函数证明不等式． [点评]　用导数法求可导函数单调区间的一般步骤： 1．求函数f(x)极值的方法 求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论． 导数与极值（最值） 2．求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． [解题指导] [点评]　将方程的根转化为函数图象交点问题，进一步转化为求函数的极大(极小)值问题． 利用导数证明不等式的方法 (1)证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(