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7(3)偏导数与全微分-公务员考试 7(3)偏导数与全微分 total differentiation 第三节 偏 导 数与全微分partial derivative 偏导数 全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域 内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量). x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x 对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x0 , y0 ). x0 x x0 y y0 x x x y y0 y y 同理, 可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 对y的偏导数, 为 yz f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim lim y 0 y y 0 y z f 记为 , , z y x x0 , 或 f y ( x0 , y0 ). y y0 y x x 0 y x x 0y y0 y y00 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数 仍是 x、y 的二元函数, 它就称为函数 z f ( x, y) 对自变量x的偏导函数 (简称偏导数),记作 z , f , z x 或 f x ( x , y ). x x 同理, 可定义函数 z f ( x , y ) 对自变量y的 偏导函数 (简称偏导数), z f 记作 , z y 或 f y ( x, y ). , y y4 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 结论: df ( x, y0 ) f x ( x0 , y0 ) dx df ( x0 , y ) f y ( x0 , y0 ) dy f x ( x, y ) x x0 ;x x0 y y0 f y ( x, y ) x x0y y0 y y0 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 偏导数的概念可以 推广到二元以上函数 设 u f ( x1, x2 , , xn ) , 则 f ( x1, , xi 1, xi x, xi 1, xn ) f ( x1, , xi 1, xi , xi 1, xn ) u lim xi x 0 x求多元函数 u f ( x1 , x2 , , xn ) 对某个变元 xi的偏导数时, 只要把其他变元当作常量,而把函数当 作关于该变元的一元函数来求导即可.6 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 求多元函数的偏导数并不需要新的方法, 如求f x ( x , y ), 只需将y 看作常量, 利用一元函数 的求导法对x求导即可. 例 求 y z ln tan xy z 的偏导数. 例 求 u x ( x 0) 的偏导数. 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 例 求f ( x, y, z ) ( z a xy ) sinln x 2 在点(1,0,2)处的三个偏导数. 解 f x (1,0,2) [sin ln x ] x 12 2 cosln x 2 x 2x 1 f y (1,0,2) 0 y 0 0, f z (1,0,2) 0 z 2 0 求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入, 变为一元函数, 再求导, 常常较简单. 7(3)偏导数与全微分 偏导数与全微分 例 已知 理想气体的状态方程pV RT , 其中 p为压强 ,V为体积 , T为温度 , R为常数 , p V T 求 证: 1 V T p RT p RT 2 ; 证 p V