信息与编码信息与编码18-7.doc

东北电力大学 教案封皮 开课单位 理学院信息与 计算教研室 课程名称 信息与编码 授课教师 常志文 授课对象 信息与计算专业121 选用教材 信息论与编码 理论（沈世镒） 总学时 60 （含课内实验10学时） 课次 18 第7章 第1~2节线性码的定义，线性码的对 偶码 教学目的 及要求 教学目的及要求： 掌握线性码的定义，生成矩阵与标准型表示； 掌握对偶码与校验矩阵； 教学重点 处理安排 教学重点： 线性码的生成矩阵与校验矩阵； 处理安排： 结合线性空间基与正交补空间基来说明。 教学难点 处理安排 教学难点： 生成矩阵的标准化； 求校验矩阵； 处理安排： 采用初等变换并结合置换实现标准化； 正交补矩阵要注意转置与取负。 教学方式、 方法 方式（手段）：多媒体； 方法：讲授法。 教学 内容 及时 间分 配 第一节课： 7.1线性码的定义； 45 分钟 第二节课： 7.2线性码的对偶码。 45 分钟 例题、练习 题 例题：结合线性码生成矩阵与校验矩阵给出例题加以说明。 作业、思考 题 作业：7.1， 7.2， 7.7 题 第七章线性码 7.1线性码的定义 在这一章里，我们讨论线性码。首先给出其定义。因为 V(n,q)是Fq域上 的n维向量的集合，这样对 V(n,q)可以定义它在 Fq域上的和与数乘运算， 所以Vn,q)是Fq域上的n维线性空间。 定义7.1.1如果L V(n,q)是V(n,q)的线性子空间，则称 L为q元线性 码?如果L是V(n,q)的k维子空间，则称L是一个q元［n,k］线性码。如果L的最 小距离是d，则称L是一个q元［n,k,d］线性码。 线性码的最小重量和最小距离有密切的关系，事实上它们相等。 定理7.1.1 设L是线性码，则d(L) e：-：(L)。 证明 因为当x和y取遍L中的所有码字时，x-y也取遍L中的所有码字，所 以我们有 d(L^xmjinL{d(x,y)^xnninL{ (x-y)}=。股虬{ (x)} = (L) 因为线性码是一个向量空间，所以可以用它的一组基来刻画它。当我们把 线性码的基向量作为行向量排成一个矩阵时，此矩阵称为线性码的生成矩 阵。 定义7.1.2 设L是一个q元［n,k］线性码，由L的一组基作为行向量所组成 的k n阶矩阵G称为线性码L的生成矩阵。如果 G = (I k, A)，则称G为线性 码L的标准型的生成矩阵， 其中Ik为k k阶单位矩阵，A为k (n-k)阶矩 阵。 例7.1.1 设二元线性码的生成矩阵为 110 0 G = 0 1 1 1 1 0 1 0 一 对于任意x =X1X2X3，X?V(3,2)，其所对应的码字为 110 0 (X1,X2,X3)0 1 1 1 =(X1 +X3,X1 +X2,X2 +X3,X2) -10 10 j 例7.1.2 码长为n的q元重复码是一个［n,1,n］线性码，它的生成矩阵为 G=(1 1 …1) 7.2线性码的对偶码 定义 7.2.1 设L是一个q 元［n,k］ 线性码，集合 L-={x V (n ,q)|x?c=O,对于所有 c L} 称为L的对偶码。 一个线性码的对偶码实际上是与其所有码字都正交的向量的集合，下面的 定理给出了线性码的对偶码的一些性质。 定理7.2.1 设L是一个q元［n,k］线性码。 (1)如果G是线性码L的生成矩阵，L—二{xEV(n,q)|xGT =0} ⑵L的对偶码L—是一个q元［n,n-k］线性码。 ⑶(L-)-二 L 例 7.2.1 对于二元［4,2］线性码 L={0000.1100.0011.1111} 我们有L L-。因为dim( L-) =dim( L) =2所以根据定义容易验证 L—二L，即L是一个自对偶码。 例7.2.2 设L={000,110,011,101}, 则容易看出L是一个二元［3,2］线性码。 容易验证L—二{000.111} 即L—是二元［3,1］线性码。 定义7.2.2 设L是一个q元［n,k］线性码，L-的生成矩阵H称为线性码L的 校验矩阵。 值得注意的是，由于 L-的基不惟一，所以L的校验矩阵不惟一。但校验矩 阵的秩是惟一的，都等于 n-k。 设L是一贯q元［n,k］线性码，其生成矩阵是 G,校验矩阵是H则x L的充 分必要条件是 xH T = 0。设 H = (0 )(十)“ x = (x1, x2,..., xn)，则 xH T = 0 等价于线性方程组 hnX1 ■ ^2X2 ... hnXn - 0, h21X1 h22X2 ... h2nXn - 0, 九斗必* 0*必...九*. =0, 因此，我们要判断x是否是L中的码字，只需验证它是否为上述线性方程组 的解。 定理722 设L是一个q元［n,k］线性码，其校验矩阵为 H,则d(L)=d的充