信息与编码信息与编码23-9.doc

东北电力大学 教案封皮 开课单位 理学院信息与 计算教研室 课程名称 信息与编码 授课教师 常志文 授课对象 信息与计算专业121 选用教材 信息论与编码 理论（沈世镒） 总学时 60 （含课内实验10学时） 课次 23 第9章 第1~4节循环码 教学目的 及要求 教学目的及要求： 掌握循环码的定义与性质； 掌握循环码的解码方法与应用。 教学重点 处理安排 教学重点： 循环码的定义与性质及编码解码方法； 处理安排： 由循环码的结构特性，结合循环码的生成多项式及例题来说明。 教学难点 处理安排 教学难点： 循环码的性质与编译码方法； 处理安排： 通过例题以及循环码的理论说明性质与编码译码方法。 教学方式、 方法 方式（手段）：多媒体； 方法：讲授法。 教学 内容 及时 间分 配 第一节课： 9.1循环码的定义与性质； 20 分钟 9.2循环码的校验矩阵及对偶码； 25分钟 第二节课： 9.3循环码的编码方法； 25 分钟 9.4循环码的检错性能。 20 分钟 例题、练习 题 例题：循环码的定义与性质及编译码方法部分给出相应例题。 作业、思考 题 作业：P170页9.2题。  内 容 备注 第9章循环码 9.1循环码的定义及其基本性质 定义9.1.1 设 f(x), g(x), p(x)E Fq[x]。如果 p(x)|(f(x) — g(x))，则称多 项式f(x)和g(x)模p(x)同余，记为 f(x)三 g(x)(mod p(x)) 疋义 9.1.2 设 p(x)=Fq[x]，如果存在 a(x),b(x)匸 Fq[x]，并且 由多项式引 deg[a(x)]deg[b(x)],deg[b(x)]deg[p(x)] ，使得 p(x)=a(x)b(x)，多项式 入循环码 p(x)称为可约的；否则p(x)称为不可约的。 关于同余类环Fq[x]/ ￡ P(X)＞有如下结论。 疋理9.1.1 环Fq[ X] / ＜ p(x) A是域的充分必要条件是： p(x)是Fq[x]中的不 可约多项式。 下面我们开始介绍本节的主要内容。 定义9.1.3 设L u V (n, q)是一个线性码。如果任意一个码字的任何循环移位 还是一个码子，即当 c0c1...cna^ L时cn^c0c1...cn^ = L ,则称L为循环码。 定理9.1.2 一个码L是循环码的充分必要应该是 L满足下列两个条件： 给出实例 (1)如果 a(x),b(x)^ L，则[a(x) + b(x)]f L ； (2)如果 a(x)乏 L,r(x)￡ Rn。则 r(x)a(x)乏 L 疋理9.1.3对于任何p(x)匸Rn，则＜p(x)＞是一个循环码。 除了上面的性质，循环码还具有其他的基本性质，我们把它们叙述成下面的 定理。 定理9.1.4 设C是 Rn中的一个非零的循环码，则 (1) C中存在惟一的一个具有最低次数的首项为 1的多项式g(x)，由g(x)生成C, 即 C=g(x) ; (2)g(x)能整除xn -1，即g(x)是xn — 1的因子； (3)女口果deg[g(x)]=r ,贝U C的维数为n-r 。 事实上， C X g(x) x{r(x)g(x) |deg[r(x)] vn — r,r(x)^ Rn} (4) 如果 g(x) =g° +g1X + ??. + g「xr。则 g° 工0 , 定理9.1.5 Rn中首1多项式p(x)是循环码C=p(x)的生成多项式的充分必要 条件是 p(x) | xn -1。 9.2循环码的校验矩阵及其对偶码 设r次多项式g(x)是循环码C的生成多项式，则C是一个[n,n-r] 循环码，且存 在h(x) ? Rn使得x「仁h(x)g(x)因为g(x)是首1的，所以h(x)也是首1的， 且deg(h(x))=n-r 。 h(x)称为循环码C的校验多项式。 定理9.2.1 设h(x)是循环码C=g(x)的校验多项式，则 (1) C ={ p(x) Rn | p(x)h(x)三 O(mod(xn -1))}； ⑵ 如果h(x) = h0 ? gx - ... hn_rxn_r，则C的校验矩阵为 h_y0 h h_y 0 hn丄 … h。 0 h0 0 … 0 … 0、 0 H = 0 0 hn --- h0… 0 … 0 0 … 0 hn_r … h。」 给出例子 ⑶码C的对偶码C-是一个[n,r] 循环码，其生成多项式为 ^(x^h0Jxn_rh(x J) 定理9.2.2 二元汉明码Ham(r,2)等价于一个循环码 9.3循环码的编码方法 利用循环码有两种非常直接的编码方法，一种是系统的，另外一种是非系统 的。下面我们来介绍两种编码方法。 设C=g(x)是一个q元[n,n-r] 循环码，deg(g(x))=r ，C有n-r个信息位