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第八章 期权定价的数法 第八章 期权定价的数法 主要内容二叉树期权定价模型 蒙特卡罗模拟 有限差分方法 第八章 期权定价的数法 二叉树模型的基本方法 第八章 期权定价的数法 无套利定价法构造投资组合包括 D份股票多头和1份看涨期权空头 当SuD – ?u = Sd D – ?d ，则组合为无风险组合SuD – ?uSdD – ?d第八章 期权定价的数法 无套利定价法（续） 组合在 T 时刻价值为 Su D – ?u组合现值应为： (Su D – ?u )e–rT组合现值的另外一个表达式为：S D – f因此：? = S D – (Su D – ?u )e–rT 第八章 期权定价的数法 无套利定价法（续） 将代入上式就可得到： 其中第八章 期权定价的数法 风险中性定价法在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件： 同样可以推得：第八章 期权定价的数法 证券价格的树型结构第八章 期权定价的数法 倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价 值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。第八章 期权定价的数法 举例说明假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期权价值为4.48元。第八章 期权定价的数法 续为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：第八章 期权定价的数法 美式看跌期权二叉树第八章 期权定价的数法 二叉树方法的一般定价过程 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成 N 个长度为 的小区间，令 表示在时间 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用 表示结点 处的证券价格，可得： 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下： 第八章 期权定价的数法 支付连续红利率资产的期权定价 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q，因此：其中第八章 期权定价的数法 支付已知红利率资产的期权定价 如果 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：如果 时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，第八章 期权定价的数法 已知红利额 假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图 第八章 期权定价的数法 已知红利额把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用 表示，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值，假设在期权有效期内只有一次红利。第八章 期权定价的数法 利率是时间依赖的情形 第八章 期权定价的数法 P=0.5的二叉树图第八章 期权定价的数法 三叉树图第八章 期权定价的数法 三叉树图:一些参数第八章 期权定价的数法 控制方差技术控制方差技术是数值方法的一个辅助技术，可以应用在二叉树模型、蒙特卡罗模拟和有限差分方法上。其基本原理为：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。第八章 期权定价的数法 适应性网状模型 在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为 ，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程，这样使得树图更好地反映了实际情形，从而大大提高了定价的效率和精确程度。第八章 期权定价的数法 隐含树图 通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率 。第八章 期权定价的数法 二叉树定价模型的深入理解二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时