希尔伯特--关于e和π的超越性的证明.pdf

关于e 和π 的超越性的证明 David Hilbert 一，证明e 是超越数. 若不然，假设e 满足n 次整系数方程 a a e a e2 ... a en 0 0 1 2 n 其中a0 0 . 方程左边乘以积分  (0,)  z  [(z 1)(z 2)...(z n)]1ez dz 0  其中 是一个正整数，则得到表达式 a  a e  a e2  ... a en  (1) 0 (0,) 1 (0,) 2 (0,) n (0,) 将(1)分解为如下两个表达式之和 P a  a e  a e2  ... a en  1 0 (0,) 1 (1,) 2 (2,) n (n ,) P a e  a e2  ... a en  2 1 (0,1) 2 (0,2) n (0,n ) 熟知恒等式   z  z e dz ! 0  ! ek  ,k 1,2,...,n 这表明，积分 是一个能被 整除的整数.而对于 有 (0,) (k ,)  ek (k ,) ek  (z k ) [(z k 1)(z k 2)...(z k n)]1e(z k )dz 0   (z k ) [(z k 1)(z k 2)...(z k n)]1ez dz 0 最后一个被积函数的中括号内是关于z 的常数项为0 的多项式，所以 e  ,e2  ,...,en  (1,) (2,) (n ,) (1)! ! (1) 都是能被 整数的整数，从而 是一个能被 整数的整数，并且可见模 的同 P