希尔伯特--关于e和π的超越性的证明.docx

关于 e 和π 的超越性的证明 David Hilbert 一，证明 e 是超越数. 若不然，假设 e 满足 n 次整系数方程 a ? a e ? a e2 ? ... ? a en ? 0 其中a0 ? 0 . 0 1 2 n 方程左边乘以积分  ?(0,?) ?  ? z ? [(z ? 1)(z ? 2)...(z ? n)]? ?1 e? z dz ?0 ? 其中 ? 是一个正整数，则得到表达式 a0 ?  (0,?) ?a1e ?  (0,?) ?a e2 ?  (0,?) ?... ? a en ?  (0,?)  (1) 2n将(1)分解为如下两个表达式之和 2 n P ? a ? ?a e ? ?a e2 ? ?... ? a en ? 1 0 (0,?) 1 (1,?) 2 ( 2,?) n ( n,?) P2 ? a1e ?  (0,1) ?a e2 ?  (0,2) ?... ? a en ?  (0,n) 2n熟知恒等式 2 n  ?? z? e? z dz ? ?! ? 0 (0,? ( k ,?))这表明，积分 ? 是一个能被 ?!整除的整数.而对于ek ? , (0,? ( k ,?)) ek ?  ( k ,?) ? ek ? (z?k )? [(z?k ? 1)(z?k ? 2)...(z?k ? n)]? ?1 e?( z ? k )dz ?0 ? ?? ? (z ? k )? [(z ? k ? 1)(z ? k ? 2)...(z ? k ? n)]? ?1 e? z dz ? 0 最后一个被积函数的中括号内是关于 z 的常数项为 0 的多项式，所以 e ? e ? , e ? ,..., e ? (1,?) ( 2,?) ( n,?) 都是能被(? ? 1)!整数的整数，从而 P1 是一个能被 ?! 整数的整数，并且可见模(? ? 1) 的同余式( [(z ?1)(z ? 2)...(z ? n)]??1 常数项为((?1)n n!)??1 ) P1 ? (?1)n( ? ?1) a ?! 0 另一方面，设 M , m 分别表示 (n!)? ?1 (mod( ? ? 1))  (2) z(z ? 1)(z ? 2)...(z ? n) , (z ?1)(z ? 2)...(z ? n)e? z 在 z ?[0, n] 上所取得的最大值.则 (0,1) (0,2) (0,n )? ? mM ? , ? ? 2mM ? ,..., ? ? nmM ? (0,1) (0,2) (0,n ) (事实上，上面的等号都是取不到的，不过这无关紧要) 记 k ? ( a e ? 2 a e2 ? ... ? n a en )m 1 2 n 则有 P ? a e ? ?a e2 ?  ?... ? a en ? ? a e mM ? ? a e2 ? 2mM ? ? ... ? a en ? nmM ? 2 1 (0,1) 2 (0,2) n (0,n ) 1 2 n 即有不等式  2P ? M ? k 2  (3) 0现在，取一个正整数 ? ，使得a n!| ? ，并且 ?!? M ? k . 0 0 0由于 a n! 的因子都包含于 ? 中，而(?, ? ? 1) ? 1 ，所以 a (n!)? ?1 必不能被 ? ? 1 整除，所 0 0 以由同余式(2)得到， P1 是一个不等于 0 的整数，又由不等式(3)得 ?! P2 ? ?! M ? k ??! 1 ? 所以 P2 的绝对值小于 1.所以 P1 ? P2 ? 0 不可能成立，即 P ? P ? 0 ，进而 ?! ?! ?! 1 2 a ? a e ? a e2 ? ... ? a en ? 0 0 1 2 n 与假设相悖，证毕. 二，证明? 是超越数. 若不然，假设? 是一个代数数，则i? 是代数数，设?1 ? i? 满足一个整系数的 n 次方程， 现在用?2 ,?3 ,...,?n 表示该方程其余的根，由于 所以，表达式 ei? ?1 ? 0 (1? e?1 )(1? e?2 )...(1? e?n ) ? 1? e?1 ? e?2 ? ... ? e?N  (4) 的取值必然是 0.其中 N ? C1 ? C2 ? ... ? Cn ? 2n ? 1，那些 ? , k ? 1,2,..., N 包含了所有的 n n n k {?i }1?i?n ,{?i ? ? j }1?i? j?n ,{?i ? ? j ? ?k }1?i? j?k ?n ,...,{ ??i } 1?i?n  (5) 易得(5)中每一个大括号内的数都