【2019年整理】第十章曲线积分与曲面积分学习指导.docVIP

第十章 曲线积分与曲面积分学习指导 一、内容提要 (一) 对弧长的曲线积分 1．定义： SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 表示第 SKIPIF 1 0 个小弧段的弧长 SKIPIF 1 0 。 2．性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。 3．计算： (1) 假设曲线 SKIPIF 1 0 的界数方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，那么 SKIPIF 1 0 。 (2) 假设曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 连续， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 上连续，那么 SKIPIF 1 0 。 (3) 假设曲线 SKIPIF 1 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )，且 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，那么 SKIPIF 1 0 。 (4) 假设空间曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，那么 SKIPIF 1 0 。 (二) 对坐标的曲线积分 1．定义： SKIPIF 1 0 其物理意义是变务 SKIPIF 1 0 沿有向弧段 SKIPIF 1 0 所作的功，即 SKIPIF 1 0 2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应留意方向性 SKIPIF 1 0 3．计算： (1) 假设曲线 SKIPIF 1 0 的参数方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且曲线 SKIPIF 1 0 的起点和终点所对应的 SKIPIF 1 0 的值为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 上连续， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，那么 SKIPIF 1 0 (2) 假设曲线 SKIPIF 1 0 的直角坐标方程为 SKIPIF 1 0 ，且曲线 SKIPIF 1 0 的起点和终点所对应的 SKIPIF 1 0 的值为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 上连续，那么 SKIPIF 1 0 (3) 假设空间曲线 SKIPIF 1 0 的参数方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且曲线 SKIPIF 1 0 的起点和终点所对应的 SKIPIF 1 0 的值为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 上连续，那么 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式 设 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF