导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型).doc

导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型) 导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型) PAGE 导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型) Go高考家长群0 成都高二、高三寒假班、春季班 联系电话：（罗老师）、微信同号 导数大题的常用找点技巧和常见模型 【引子】（2017 年全国新课标 1·理·21）已知 f ? x ? ? ae 2 x ? ? a ? 2?e x ? x . （1）讨论 f ? x ? 的单调性； （2）若 f ? x ? 有两个零点，求 a 的取值范围. 解析：（1） f ? x ? ? 2 ae 2 x ? ? a ? 2 ? e x ? 1 ? ? 2e x ? 1?? aex ?1? a ? 0 ，则 f ? x ? ? 0 恒成立，所以 f ? x ? 在 R 上递减； a ? 0 ，令 f ? x ? ? 0 ，得 e x ? 1a , x ? ln 1a . 1 ? 1 ? 当 x ? ln 时， f ? x ? ? 0 ，所以 f ? x ? 在 ? ??, ln ? 上递减； a a ? ? 1 ? 1 ? 当 x ? ln 时， f ? x ? ? 0 ，所以 f ? x ? 在 ? ln , ??? 上递增. a a ? ? ? 1 ? ? 1 ? 综上，当 a ? 0 时， f ? x ? 在 R 上递减；当 a ? 0 时， f ? x ? 在 ? ??, ln ? 上递减，在 ? ln , ??? 上递增. a a ? ? ? ? （2） f ? x ? 有两个零点，必须满足 f ? x ?min ? 0 ，即 a ? 0 ，且 f ? x ?min ? 1 ? 1 1 ? f ? ln ? ? 1 ? ? ln ? 0 . a a ? a ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? 1 ? x ? ln x ， x ? ? 1 ? x ? ln x 单调递减. 构造函数 g x 0 . 易得 ? 1 ? ，所以 g x 又因为 g ?1? ? 0 ，所以1 ? 1 1 1 ? ln ? 0 ? g ? ? ? g ?1? ? ? 1 ? 0 ? a ? 1 . a a a ? a ? 下面只要证明当 0 ? a ?1时， f ? x ? 有两个零点即可，为此我们先证明当 x ? 0 时， x ? ln x . 事实上，构造函数 h ? x ? ? x ? ln x ，易得 h ? x ? ? 1 ? 1x ，∴ h ? x ? min ? h ?1? ? 1 ，所以 h ? x ? ? 0 ，即 x ? ln x . 0 ? a ?1时， f ? ?1? ? a ? a ? 2 ? 1 ? a ? ea ? ? e 2 ? 2? ? 0 ， e 2ee2 ? 3 ? a ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? f ? ln ? ? a ? ? 1 ? ? ? a ? 2 ? ? ? 1 ? ? ln ? ? 1 ? ? ? 1 ? ln ? ? 1 ? ? 0 ， a ? a ? ? a ? ? a ? ? a ? ? a ? 1 3 ? a 1 ? 1 ? ? 1 3 ? a ? 其中 ?1 ? ln ， ln ? ln ，所以 f ? x ? 在 ? ?1, ln ? 和 ? ln , ln ? 上各有一个零点. a a a ? a ? ? a a ? 故 a 的取值范围是 ? 0,1? . 注意：取点过程用到了常用放缩技巧。 全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面 Go高考家长群0 成都高二、高三寒假班、春季班 联系电话：（罗老师）、微信同号 2 x x 2 x x x x x 3 ? a ? 3 ? 一方面： ae ? ? a ? 2 ? e ? x ? 0 ? ae ? ? a ? 2 ? e ? e ? 0 ? ae ? a ? 3 ? 0 ? e ? ? x ? ln ? ?1? ； a ? a ? 另一方面： x ? 0 时， ae 2 x ? ? a ? 2 ? e x ? x ? 0 ? ? a ? 2 ? e x ? x ? 0 ? x ? ?1（目测的） 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数） ， ， ln 1 ? x ? x ， x ln x ? x ?1 ln x ? x ln x ? e . ? ? 1 ? 1 ? ? x ? 1?， ln x ? 1 ? 1 ? ? 0 ? x ? 1? ， （放缩成双撇函数） ln x ? ? ? ? ? 2 ? x ? 2 ? x ? 1 ? ? 1 ? ? ， ， （放缩成二次函数） ln x ? x 2 ? x ， ln