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导数压轴题题型归纳(3) 导数压轴题题型归纳(3) PAGE 12 - 12 - 导数压轴题题型归纳(3) 导数压轴题题型归纳（3） 例18(变形构造法)已知函数，a为正常数． ⑴若，且，求函数的单调增区间； ⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：． ⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围． 例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数. （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，设函数，若，求证 例20（绝对值处理）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值． （I）求实数的取值范围； （II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式； （III）对于（II）中的函数，对任意，求证：． 例21（等价变形）已知函数． （Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立， 求实数的取值范围； （Ⅲ）当且时，试比较的大小． 例22（前后问联系法证明不等式）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。 （I）求直线的方程及m的值； （II）若，求函数的最大值。 （III）当时，求证： 例23(整体把握，贯穿全题)已知函数． （1）试判断函数的单调性； （2）设，求在上的最大值； （3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）． 例24(化简为繁，统一变量)设,函数. （Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若无零点,求实数的取值范围； （Ⅲ）若有两个相异零点,求证: . 例25（导数与常见不等式综合）已知函数，其中为正常数． （Ⅰ）求函数在上的最大值； （Ⅱ）设数列满足：，， （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任意的，； （Ⅲ）证明：． 例26（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间； (II)如果对任意，都有不等式f(x) x + x2成立，求实数a的取值范围； (III)设,证明：+++…+ 例27已知函数.若函数满足下列条件: ①;②对一切实数,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)若对,恒成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)求证:. 参考答案 例18解：⑴ ∵a，令得或,∴函数的单调增区间为. ⑵证明：当时 ∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与的大小． 令,则, ∴在上位增函数． 又，∴， ∴，即 ⑶∵ ，∴ 由题意得在区间上是减函数． 当， ∴ 由在恒成立． 设，，则 ∴在上为增函数，∴. 当，∴ 由在恒成立 设，为增函数,∴ 综上：a的取值范围为. 例19解：（1）,，即在上恒成立 设,，时，单调减，单调增， 所以时，有最大值.，所以. （2）当时，, ,所以在上是增函数，上是减函数. 因为，所以 即,同理. 所以 又因为当且仅当“”时，取等号. 又，, 所以,所以， 所以：. 例20（I） 由，因为当时取得极大值， 所以，所以； （II）由下表： + 0 - 0 - 递增 极大值 递减 极小值 递增 依题意得：，解得： 所以函数的解析式是： （III）对任意的实数都有 在区间[-2，2]有： 函数上的最大值与最小值的差等于81， 所以． 例21解：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数 在 单调递减，∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． （Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴， ∴， 令，可得在上递减，在上递增， ∴，即． （Ⅲ）证明：， 令，则只要证明在上单调递增， 又∵， 显然函数在上单调递增． ∴，即， ∴在上单调递增，即， ∴当时，有． 例22解：（I）的斜率为1， 且与函数的图像的切点坐标为（1，0），的方程为 又与函数的图象相切，有一解。 由上述方程消去y，并整理得① 依题意，方程②有两个相等的实数根，解之， 得m=4或m=-2， （II）由（I）可知 ， 单调，当时，单减。 ，取最大值，其最大值为2。 （III） 证明，当时， 例23解：（1）函数的定义域是．由已知．令，得． 因为当时，；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以． 当时，在上单调递减，所以．当，即时，．综上所述， （3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式． 例24解：在区间上,.