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一元二次方程公共根问; 若己知若干个一元二次方程有公共根?求方程系数的问题?叫一元二次方程的公共根问题, 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤: 1 ?设公共根为则a同时满足这两个一元二次方程; 2?用加减法消去E的项，求出公共根或公共根的有关表达式; 3 .把共公根代入原方程中的任何一个方程?就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式. 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的F解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参 值和公共根? 二、 整数根问题 对于一元二次方程杼+阪+ =0 (心0)的实根情况，可以用判别式A = /r-4?来判别，但是对于一个 含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了，只能具体问 题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质. 方程有整数根的条件： 如果一^二次方程揷+虹+。= 0 (心0)有整数根,那么必然同时满足以下条件： △ = ?为完全平方数； —b + 貽 一 4(“?=k 或—b 一 W 一 4〃?=2uk ，其中 k 为整数. 以上两个条件必须同时满足，缺一不可. 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、L。均为有理数) 三、 方程根的取值范围问题 勺范围先使用因式分解法或求根公式法求岀两根，然后根据题中根的取值范围来确定参 勺范围 1己知一元二次方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范国. (2)如果k是符合条件的最大整数.且一元二次方程F-4x+A=0与F+m..l=O有一个相同的根，求此时m的 值. 2若两个关于x的方程F+.muO与./+心+1=0只有一个公共的实数根，求〃的值 3 已知a2. b2.试判断关于x的方程x2?顷+b) x+泌=0与Ft弘+ (u+b) =0有没有公共根，请说 明理由. 4求A的值，使得一元二次方程F+虹-1=0, x+x + (A-2) = 0有相同的根，并求两个方程的根. 5二次项系数不相等的两个二次方程(a - 1)F - 3 + 2)x + (/ + 2“) = 0和 (b-l)/- (屏+2)x + (屏+功=0(其中a, 8为正整数)有一个公共根，求?“W 的值 6已知关于x的两个一元二次方程：方程①：（l + ：）F+（A + 2）x —1 = 0方程②： r+(2k + l)r — 2S3 = 0 (1)若方程①有两个相等的实数 (1) 若方程①有两个相等的实数根?求解方程②: (2)(3)若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简一芝宰 若方程①和②有一个公共根c，求代数式（〃+4-2）A+3〃+5a (2) (3) 练习：1 .己知关于X的一元二次方程x1-6x+k = 0有两个实数根?（1）求如勺取值范围： （2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x1-6x+k =。与x2+nix-\=。有一个相同的根, 求常数m的值。 己知知也是一元二次方程（k + l）x2+2kx+k-3 =。有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范国； （2）在（1）的条件下，当R取符合条件的最小整数时一元二次方程x2-x+k=O与X? +，心一* =。只 有一个相同的根，求，〃的值。 己知方程x2-kx-l= 0与方程一6.丫一。+ 1） = 0=0有公共根，求k的值及两方程的所有公共根和所 有的相异根。 5.关于x的方程+*+1 = 0与尸一x_Q =。有且只有一个公共根，求力的值。 6.若方程x2 +ux+b = 0和F +版+〃 = 0只有一个公共根，求(“ + b严2的值。 7当p是什么实数时，方程x2 + px-3 = 0与方程x2-4x-(p-l) = 0有一个公共根。 设。、/八c为三个互不相等的实数，且c#l.已知关于x的方程】+四+1= 0和方程x2+bx+c = O 有一个公共根，方程x2+x+a = O和方程x2+cx+h = 0有一个公共根，试求〃+b+c的值。 已知方程①：ax2+bx+c = O ,(其中c壬())有整数根，是否存在整数p,使得方程②： x3+(a + p)x2+(b + p)x + c = O与方程①有相同的整数根？如果存在，请求岀卩的值及相应的公共根， 若不存在，诺说明理由。 是否存在某个实数，〃.使得方程x2+/iu+2 = 0和方程x2+2x + m=。有且只有一个公共根？如果存 在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由. 如果方程杯_敞-6 = 0和方程?x2+2/7x-15 = 0有一个公共根是3.求心，的值.并分别求岀两个 方程的另外一个根。 设关于a?的二次方程(亍-64 + 8赫+(2妃-6S4)x +尸=4的两根都是整数，求