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大连理工大学高等数值分析主要内容总结 大连理工大学高等数值分析主要内容总结 PAGE 大连理工大学高等数值分析主要内容总结 高等数值分析主要内容总结 1. 矩阵部分 (1) 矩阵变换 a) Householder 变换（反射变换/镜像变换） 定义 设ω? Hω= 则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。H具有以下性质： HH 定理 设u?Cn是一个单位向量，则对于任意的x?Cn，存在Householder矩阵H=I-2 当x=0时，ω可任取； 当x=au≠0时，取 当x≠au时，应取 b) Givens变换（旋转变换） 定义 设c,s?C，c2 Tkl 称为Gives矩阵或初等旋转矩阵。Givens矩阵为酉矩阵，且det?(T 定理 对于任意向量x?Cn，存在Givens变换Tkl，使得y=Tklx的第k 当xk2+xl2=0 当xk2+xl (2) 矩阵分解-QR分解（正交三角分解/酉三角分解） 定义 设A?Cn×n，如果存在n阶酉矩阵（酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广）Q和n阶上三角矩阵R，使得A=QR，则称A=QR为A的QR分解。当A?R 定理 任意一个满秩实（复）矩阵A，都可唯一地分解为A=QR a) Schmidt正交化方法 b) Householder变换法 c) Givens变换法 d) Hessenberg分解 任意一个n阶方阵X可以分解为X=PHP，其中P为酉矩阵，H的第一子对角线下的元素均为0，即H为 (3) Newton迭代法-拟Newton迭代法 a) Newton迭代法 I. 基本思想：将非线性方程fx II. 基本原理：将fx在x0处做一阶 fx 认为 fx 解此方程，构造迭代格式 x(k+1) 式(5)即为Newton迭代法迭代格式，在真实根附近至少是平方收敛的。 几何意义 b) 拟Newton法 2. 微分方程 (1) 一阶常微分方程 常微分方程初值问题 dud a) Euler法 微商（导数）是差商的极限，差商是微商的近似。在式(6)中，用向前差商ut1-u(t0 un+1= 从另一个角度出发，在区间[tn, un+1 使用不同的数值积分公式，便得到不同的差分法。采用左矩形公式即可得Euler法，采用右矩形公式，可得到如下隐式Euler法： un+1= 采用梯形公式，可得到改进的Euler法： un+1= 以上为单步法。 预估校正法（多步法，避免隐式法迭代） 一般来说，多步法比单步法精度要高一些。 b) Runge-Kutta法 c) 总结 相容性：一个差分方法称为相容的，如果其截断误差至少是一阶的。 (2) 偏微分方程 a) 椭圆微分方程 b) 抛物微分方程 c) 一阶双曲微分方程 3. 数值逼近 (1) 一致逼近 (2) 平方逼近 (3) 样条逼近（略） (4) 贝塞尔曲线（略）