数学建模-土地平整问题.pdf

土地平整问题 摘要 随着社会的快速发展， 对于山区的土地整理显得格外重要。 为了更好地合理 利用土地，选择合适的土地整理地点，达到节约成本的目的。我们会建立模型， 根据几个重要的制约因素， 使得土石方量最小， 而且成本最低， 在实际的操作过 程中更接近于科学实施。 针对问题一：利用软件 MATLAB中的绘图功能，对数据进行处理，得到这片 土地的三维图形与等高线图。 针对问题二：采用二重积分的意义，即曲顶柱体的体积。利用分割、取值、 求和、取极限的思想， 将山地分割成无数个小曲顶柱体， 然后对这些小曲顶柱体 进行求和， 并结合土石方量最小， 挖填土时费用使用的最少限制条件， 从而求得 在什么海拔高度进行平整。对于平面位置的确定，利用枚举法，总费用最少，求 得在什么位置，什么海拔高度平整，已达到最优的标准。 针对问题三：类比于问题二，采用相同的方法，在不同的海拔高度上平整， 已满足二层的台阶状地块的要求，达到挖填土石方量最小的目标。 最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改 进的方法。 关键词： 土石方量最小；二重积分；枚举法； 一、问题重述与分析 问题的重述 十堰市是一个山区城市， 向山要地是十堰市发展的一个必然的选择， 但是如 何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度， 从而使总的土石方量最小， 就是 一个有意义的命题了！ 某工厂为了在一片长度为 1500 米，宽度为 1000 米的山地之中， 开挖出一个 800 米×600 米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基，前期已经在本块土 地上测量出长、宽每隔 30 米的网格的对应网格点的海拔高度。 问题： ①用附件（ 1）中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图； ②从什么地方， 什么海拔高度平整一块 800 米×600 米的连片土地能使总的 土石方量最小 ③如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块， 要求各地块的长、 宽不少 于 60 米，又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖，能使总的土石方量最小 问题的分析 问题一 我们可以利用 MATLAB软件直接调用 surf 函数和 contour 函数分别画出这片 土地的三维图形和等高线图。 问题二 考虑要平整一块 800 米×600 米的连片土地，且要使土石方量最小，我们需 要确定这块 800 米×600 米的连片土地的底面投影区域，以及海拔高度，使得其 土石方量最小。让底面投影区域在长度为 1500 米，宽度为 900 米内枚举，此时 计算出对应的土石方量最小的是， 在这些所有的最小值中取得最小值的那块投影 区域即为所求。 我们采用此种方法求解。 在平整土地的过程中， 凸出的地方是要 挖土的，凹下的地方是可以填土的，这样挖下来的土可以填充到凹下去的部分。 通过计算体积的方式计算挖土和填土大小， 求出最小值对应的海拔高度， 即可确 定整连片土地的具体高度。 二、基本假设 1、在平整土地的过程中，有些地方是要挖山的，但有些地方是要填土的， 假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的 1/3 。 2、假设除了挖土和填土以外，在平整土地的过程中其他作业（如登高）产 生的费用都与 800 米×600 米的连片