导数的11个专题(243页).doc

导数的11个专题(243页) 导数的11个专题(243页) PAGE 导数的11个专题(243页) 目 录 导数专题一、单调性问题 2 导数专题二、极值问题 38 导数专题三、最值问题 53 导数专题四、零点问题 77 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 118 导数专题六、渐近线和间断点问题 170 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 190 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 201 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 214 导数专题十、极值点偏移问题 219 导数专题十一、构造函数解决导数问题 227 1 / 243 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）； 第四步、（列表）根据第五步的草图列出 f ?x?， f ?x?随 x 变化的情况表，并写出函数的 单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为 0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为 f ?(x) ? 0 或 f ?(x) ? 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较； 2 / 243 （3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。 七、求解函数单调性问题方法提炼： （1）将函数 f ?x ? 单调增（减）转化为导函数 f ??x ? ? ???0 恒成立； （2） f ??x ? ? g ?x ?h ?x ? ，由 g ?x ? ? 0 （或 g ?x ? ? 0 ）可将 f ??x ? ? ???0 恒成立转化为 h ?x ? ? ???0 （或 h ?x ? ? ???0 ）恒成立； （3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。 3 / 243 【考点分类】 考点一、分类讨论求解函数单调性； 【例 1-1】（2015-2016 朝阳一模理 18）已知函数 f (x) ? x ? a ln x, a ?R ． （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）当 x ??1, 2?时，都有 f (x) ? 0 成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）试问过点 P(1，3) 可作多少条直线与曲线 y ? f (x) 相切？并说明理由． a x ? a （1）当 a ? 0 时， f ?(x) ? 0 恒成立，函数 f (x) 在 (0, ??) 上单调递增； （2）当 a ? 0 时， 令 f ?(x) ? 0 ，得 x ? ?a ． 0 ? x ? ?a 时， f ?(x) ? 0 ，函数 f (x) 为减函数； x ? ?a 时， f ?(x) ? 0 ，函数 f (x) 为增函数． 综上所述，当 a ? 0 时，函数 f (x) 的单调递增区间为 (0, ??) ． 当 a ? 0 时，函数 f (x) 的单调递减区间为 (0, ?a) ，单调递增区间为 (?a，+?) ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当 ?a ?1 时，即 a ? ?1 时，函数 f (x) 在区间 ?1, 2?上为增函数，所以在区间 ?1, 2?上， f (x)min ? f (1) ?1 ，显然函数 f (x) 在区间 ?1, 2?上恒大于零； （2）当1 ? ?a ? 2 时，即 ?2 ? a ? ?1 时，函数 f (x) 在 ?1，? a? 上为减函数，在 ??a, 2?上为增函数，所以 f (x)min ? f (?a) ? ?a ? a ln(?a) ． 依题意有 f (x)min ? ?a ? a ln(?a) ? 0 ，解得 a ? ?e ，所以 ?2 ? a ? ?1 ． （3）当 ?a ? 2