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第-4讲全等三角形动点提高题 第-4讲全等三角形动点提高题 PAGE第PAGE24页（共NUMPAGES24页） 第-4讲全等三角形动点提高题 第4讲 全等三角形动点提高题 动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 典型例题 例1、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长． 解：（1）①∵t=1s， ∴BP=CQ=3×1=3cm， ∵AB=10cm，点D为AB的中点， ∴BD=5cm． 又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm， ∴PC=8﹣3=5cm， ∴PC=BD． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BPD和△CQP中， ∴△BPD≌△CQP（SAS）． ②∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C， 则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm， ∴点P，点Q运动的时间s， ∴cm/s； （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得x=3x+2×10， 解得． ∴点P共运动了×3=80cm． △ABC周长为：10+10+8=28cm， 若是运动了三圈即为：28×3=84cm， ∵84﹣80=4cm＜AB的长度， ∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇． 例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6BC=8．点P从点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，一点到相应的终点停止运动，某时刻，分别过P和Q作PE⊥L于E，QF⊥L于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由． 解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC， ∵△PEC≌△QFC， ∴斜边CP=CQ， 有四种情况：①P在AC上，Q在BC上， CP=6-t，CQ=8-3t， ∴6-t=8-3t， ∴t=1； ②P、Q都在AC上，此时P、Q重合， ∴CP=6-t=3t-8， ∴t=； ③P在BC上，Q在AC时，此时不存在； 理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上； ④当Q到A点（和A重合），P在BC上时， ∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6， ∴t-6=6 ∴t=12 ∵t＜14 ∴t=12符合题意 故点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等． 例3、(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD; (2) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． 证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG． ∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝， AB＝AD， ∴． ∴AG＝AF， ． ∴． ∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE， ∴．∴EG＝EF． ∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD (2) (1)中的结论仍然成立． 考点训练 一．选择题 1．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可． 解：∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠ACB=∠A′CB′， 即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB， ∴∠A