四点共圆及其应用（中）.pdf

初 中平面几何基础培优讲座之十八 首都师范大学数学科学学院(100048) 周春荔 A c 所 以 点 M 在 △ABC 的外 接 圆上 ． 为直线 ￡上 的 三个 点 ，0 连 接 PB、PC、PE、 为 直 线 z外 一 点 ．0 ， PF，因为 AE—AF， ， 0 分 别 是 △AoB ， 所 以 △ B0C，△A0c 的外 接 BFH 一 CEH ． 圆 的 圆心 ， ① 求 证 ：()，0 。o2， 因 为 H 是 △ABC 0 四点 共 圆． 图 9 的垂 心 ，所 以 证 明 如 图 所 示 ， HBF一90。一 BAC一 HCE． ② 连 结 o A ，o C．因为 圆 0 与 圆 0 的交 点是 A ，()，而 o o 是 圆心 的连线 ，所 以 结 合① ，② 知 ，△ BFHC,O△ CEH ，所 以 BF CE Ao 10 3一 0 3o 10 ， BH CH ‘ 1 1 从而有 ABO一÷ Ao O一÷(360。一 又 由于 BHCM 是 平 行 四边 形 ，知 BH — 厶 厶 A ()l0 3一 0o 10 。)一 18O。一 Oo 10 。． CM ，CH — BM ，所 以 同理 可证 ， 0BC一 180。一 (DO 0。， BF CE — CM BM ‘ 所 以 AB(_)+ 0BC一 360。一 ( ∞ l03 + 00 0 。)． 又 因 为 D 为 BC 的 中点 ， 又 因 为 AB0+ 0BC一 180。， 所 以 S△PBM— S△PcM， 所 以 o0】03+ 00203— 18O。． 所以÷BP ·BM ·sin MBP一÷cP · 因此 0，0 ，0 ，o 四点共 圆． CM ·sin M CP ， 10 (2009年 一 一 。 由 MBP+ MCP一 18O。，可 得 第 9届 中 国西部 数 学 奥 BP ·BM—CP ·CM ． ④ 林 匹 克试题 )如 图 10，设 H 为 锐 角 △ABC 的