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初 中平面几何基础培优讲座之十八
首都师范大学数学科学学院(100048) 周春荔
A c 所 以 点 M 在
△ABC 的外 接 圆上 .
为直线 £上 的 三个 点 ,0
连 接 PB、PC、PE、
为 直 线 z外 一 点 .0 ,
PF,因为 AE—AF,
, 0 分 别 是 △AoB ,
所 以
△ B0C,△A0c 的外 接
BFH 一 CEH .
圆 的 圆心 ,
①
求 证 :(),0 。o2,
因 为 H 是 △ABC
0 四点 共 圆.
图 9 的垂 心 ,所 以
证 明 如 图 所 示 ,
HBF一90。一 BAC一 HCE. ②
连 结 o A ,o C.因为 圆 0 与 圆 0 的交 点是
A ,(),而 o o 是 圆心 的连线 ,所 以 结 合① ,② 知 ,△ BFHC,O△ CEH ,所 以
BF CE
Ao 10 3一 0 3o 10 ,
BH CH ‘
1 1
从而有 ABO一÷ Ao O一÷(360。一 又 由于 BHCM 是 平 行 四边 形 ,知 BH —
厶 厶
A ()l0 3一 0o 10 。)一 18O。一 Oo 10 。. CM ,CH — BM ,所 以
同理 可证 , 0BC一 180。一 (DO 0。, BF CE —
CM BM ‘
所 以 AB(_)+ 0BC一 360。一 ( ∞ l03
+ 00 0 。). 又 因 为 D 为 BC 的 中点 ,
又 因 为 AB0+ 0BC一 180。, 所 以 S△PBM— S△PcM,
所 以 o0】03+ 00203— 18O。.
所以÷BP ·BM ·sin MBP一÷cP ·
因此 0,0 ,0 ,o 四点共 圆.
CM ·sin M CP ,
10 (2009年
一 一 。 由 MBP+ MCP一 18O。,可 得
第 9届 中 国西部 数 学 奥
BP ·BM—CP ·CM . ④
林 匹 克试题 )如 图 10,设
H 为 锐 角 △ABC 的
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