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-----利用向量解决空间的距离问题 3.2立体几何中的向量方法(四) 安徽省滁州市第二中学高二数学备课组2014年12月2日 向量法求空间距离的求解方法 1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离. 2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则 3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点, 点A为平面内的任一点,平面的法向量为n,过 点P作平面?的垂线PO,记PA和平面?所成的 角为?,则点P到平面的距离 n ? A P O ? B A a M N n a b 4.异面直线的距离: ①作直线a、b的方向向量a、b,求a、b的法向量n,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;②在直线a、b上各取一点A、B,作向量AB;③求向量AB在n上的射影d,则异面直线a、b间的距离为 例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解:如图1,不妨设 化为向量问题 依据向量的加法法则, 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 典例 思考: (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系? (2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? A1 B1 C1 D1 A B C D (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 是多少? (提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离) 思考(1)分析: 思考(2)分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长. A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析:面面距离转化为点面距离来求 解: ∴ 所求的距离是 思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 如何用向量法求点到平面的距离? (1) 求B1到面A1BE的距离; 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: (2) 求D1C到面A1BE的距离; 解:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离 仿上法求得 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离; 解:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的中点,求下列问题: (4) 求异面直线D1B与A1E的距离.组卷网 课堂练习: 练习1:如图,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE,计算DE的长。 O A B C D E F E B1 C1 D1 D C A 练习2: 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1和C1D1 的中点,求点A1到平面DBEF的距离。 B x y z A1 练习3: 如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1, ∠ACB=900,AA1= , 求B1到平面A1BC的距离。 B1 A1 B C1 A C x y z 小结 利用法向量来解决上述立体几何题目,最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置,完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性,用代数推理解立体几何题目,关键就是得建立空间直角坐标系,把向量通过坐标形式表示出来,所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如:正(长)方体、直棱柱、正棱锥等。 作业 P112 A组 5 9 补充作业: 已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离。 G B D A C E F x y z * 例3 * 例3答案 * 例1答案 * 例3 * 例3答案 * 例1答案
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