导数中常见零点问题解决方法.docx

x xa x x a 如果把 h(x) m(x) , n( x) x 导数中的零点问题解决方法 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合 题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下 移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例 1.已知函数 f (x) 数根，求 a 的值。 解析： g( x) x2 ef ( x) e ln x x2 时， h( x) 1 当 0 x x , g(x) ln x ，若关于 x 的方程 g(x2) f ( x) 2e只有一个实 2e a 2e a x2 x 2x 2e ，令 h ( x) 2ex，令 0 ，则 x h( x)ln h( x) x e x2 x 2ex， 0， h(x) 单调递 x e 时， h ( x) h ( x) 0， h( x) 单调递增；当 e1减， h( x) max h(e) e 1 e 2 e 注意这里 h( x) 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 当成两个函数的和，即 ln x x2 h(x) 的式子很复杂，但是 2ex ，此时 m( x), n(x) 的 单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出 h( x) 的单调性和极值点。 e （注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） e所以 a e （注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） e 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函 数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如 f (x) 在区间 (0,1) 上有零 点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调， 只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着 (0,1) 上存在极值点。 f (x) 在区间 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的 是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说 明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间 2aaa2x e2 1x2 2 a a a 2 x e 2 1 x2 x 2 ( x 2)( x 1) x2 x2 e e 2 e 的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势 图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。 例 2.已知函数 f (x) ax3 值范围是 解析：当 时， f (x) 当 a 若 f 0时， f (x) (x) 0 ，则 0 3x2 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 0 ，则 a 的取 3x 1有两个零点，不符合题意 a23ax 6x 3x(ax a 2 x 2 ，此时函数在 2) ，若 f ( x) 0，则 x ( ,0) 上单增， f ( 1) 2或x 0 a 2 2 a 0 此时在 ( ,0) 上存在零点，不符合题意。 当 a 0 时，若 f ( x) 0 ，则 2 x 此时要保证函数存在唯一的正零点，则 0 ，若 f f ( 2 ) ( x) 0，则 x