平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理.docVIP

平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理 平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理 PAGE 平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理 平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理： 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件； 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； CBA C B A 平面几何的几个重要定理 ――――塞瓦定理 塞瓦定理： CBAMQ C B A M Q R A C P B CBA C B A C B A KL K L N M C B A 平面几何的几个重要定理－－托勒密定理 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即： E E D C B A 一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点 (不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB， ∵AB=BC=AC．　∴PA=PB+PC． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 证明“勾股定理”： 在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形． 由托勒密定理，有 AC·BD=AB·CD＋AD·BC． ① 又∵ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3 如图，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 证明：连结CD，依托勒密定理， 有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴ BD=CD． 故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形 借助托勒密定理 例4 若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1． 求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 　据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． 　∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理 例5 已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图 ，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA． ∵AD=BC， ∴∠ABD=∠BAC． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2． 　 依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC． ① 而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2． ② ∴∠BAC=2∠ABC． 五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理 例6 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形． 如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD． 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理， 有AC·BD＋BC·AD=AB·CD 易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 2． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。 求证： 。（第21届全苏数学竞赛）