大学物理教案机械振动与机械波.docx

T1dt dt形如 T 1 dt dt 形如 dt m m m 教学目标 教学难点 1.掌握简谐振动的定义、表达方式、简谐振动的合成方法；了解自由、阻尼、强 迫等各类简谐振动的特点和规律。 2.掌握振动和波的关系、波的相干条件、叠加原理、驻波的形成条件、驻波的振 幅、相位和能量的空间分布，半波损失。 3.学会建立波动方程。 多自由体系的小振动 第十一章 机械振动 振动 是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。 压、电场强度、磁场强度等 )。 物体或系统质点数是无穷的， 自由度数也是无穷的， (例子：物体位置、电流强度、电 因此存在空间分布和时间分布， 需 要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数， 或未知函数与几个变量 有关， 而且未知函数对应几个变量的导数， 很多的质点， 不能用质点力学的定律研究， 那么这种微分方程就是偏微分方程。 例如弦包含 但是可以将其细分成若干个极小的小段， 每小段 可以抽象成一个质点， 用微分的方法研究质点的位移， 其是这点所在的位置和时间变量的函 数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程 ) 。 一、简谐振动 (单自由度体系无阻尼自由小振动 ) 虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小 段，那么就成为单质点单自由度 ( 只需一个坐标变量 ) 的振动。 F kx, a F k x，令 k 2 a 2 x, a d 2x2 d 2x2 2 x 0 dt dtx Acos( t ) Aei ei t A (振幅 )、 (初相位 )都是 积分常数 ， k dt dt 特征方程 : 2 2 0 特征根： i 在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的 阶。 dx P(t) x Q(x) 的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数 x及其导数 dx 都是 一次 的。若 Q( x) 0 ，则 dx P(t) x 0 称为 齐次 的线性方程。 二阶常系数齐次线性微分方程的解法： 1 2 1 2 1,2 由 x A cos( t ) v 按周期定义， T =Acos( t Asin( T = ，所以 2p w 最小值应为 2p w x c1e 1t c2e 2t x c1 c2t e t i x e t c1 cos t c2 sin t A sin( t ) ) Acos t T ) Asin t T ， 同时满足以上两方程的 T 的 ，于是 n = ,w = 2pn， w称为 圆频率 或角频率 。不像 A、 ， 由初始条件决定， w由固有参量 k 和 m决定，与初始条件无关，故称为振子的 固有频 率。简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化，但只要 t 相同，振动的状态 就相同， 所以 t 是决定振动状态的物理量， 称为 位相。 w是位相的变化速率， 单位是 弧度/ 秒。 由于复数平面上任一点对应一个矢量，还可以用一个 旋转矢量 来描述简谐振动。 在相空间中，简谐振动由一条椭圆曲线所描述： 位移和动量