福师大网络教育《复变函数》网络作业答案.docx

4πni主值 4 π n i 主值 , 2 n n 复变函数作业一 一、判断（对的用 T 表示，错的用 F 表示） 1、如果 f ( z0 ) 存在，那么 f ( z) 在 z0 解析。（ F ） 2、 Ln z nLnz 。（ F ） 3、当且仅当 z 为实数时， e 为实数。（z F ） 4、 设 f (z) u iv 在区域 D 内是解析的， 如果 u 是实常数， 那么 f ( z) 在整个 D 内 是常数；如果 v 是实常数，那么 f ( z)在 D 内也是常数。（ T ） 二、填空 1、 Re 1 i 3 = 2 ； Im 1 i 3 = 2 2、设 是 1 的n 次根， 1，则 1 2 L n 1 = 0 。 3 、 在 映 射 z2 下 ， 扇 形 区 域 0 argz , z 1 的 像 区 域 为 0 arg z 4、若 1 i n 1 i n ，则 n = 。 三、计算 1、 计算下列函数值： 1） L n ； 2） 3 4i 。 1）、 L n ei 解： ln e ln i arg ei i Ln ei ln ei 2k i i 2k i , k 2）、 3 4i 解： 设 3+4i 的平方根是 x+yi， x、 y∈R，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4， 1114xy3 1 1 1 4xy 3 2 3 4 3 2 3 求得 x=2， y=1，或 x=-2 y=-1 ， 故 3+4i 的平方根是 2+i ，或-2-i ， 故答案为： 2+i ，或-2-i 2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1） ； z 1） ； z 解： 因为 f(z)=|z| 于左极限。 所以 f(z)=|z| 2） x2 y2 x i 2xy y2 。 当趋于 0- 时 f(z)=|-1 ； 当趋于 0+时 f(z)=|1 ； 右极限不等 在 z=0 处不可导，而在除 0 以外的其他地方都可导且解析。 2） x2 解： ux uy ux y2 x i 2xy y2 。 2x 1 vx 2 y , v y v y , uy vx 212y 2 1 2x 2y , y 仅在直线 y 上可导，在复平面上处处不解析。 2 3、函数 f ( z) x2 y3 2x2 y2 i 是否为解析函数？求出其导数。 解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域 f ( x, y) ux f (0,0) 0, f iv x 2x 2 , 4 i 3z 3z 1 dz z 2 z z 1 4、已知 f ( z) 解： f ( z) 2 f (z) 2 3 C 2 i (3z2 i (6z z7 1d , C : x2 z y2 y 3，求 f 1 i 。 7z 1) 7) f (1 i ) 2 6 13i 5、计算积分 1 ） z 2 z z 1 ； 解： 1） 3z 1 dz； 1 11 z 1sin4 dz1f z 1 1 1