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平面向量与三角形的心综合 平面向量与三角形的心综合 PAGE PAGE 平面向量与三角形的心综合 向量与三角形内心、外心、重心、垂心综合 一、三角形外心的性质 A A B C G 性质1：三角形三边中垂线的交点，G为外接圆圆心 性质2：点是外心： 2=2=2 (到三顶点距离相等) (+)·=(+)·=(+)·=0(为三边中垂线交点) 性质3：正弦定理：，为的外接圆半径 二、三角形内心的性质 O O E F D A B C 性质1：三角形的三个角平分线的交点，O内切圆圆心。 性质2：三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径R 性质3：内角平分线定理：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，则有： 性质4：设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心,为的内心 证明：分别为方向上的单位向量，平分, )，令，（) 化简得 性质5：是的内心的充要条件是 性质6：已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心． 三、三角形重心的性质 性质1：三角形三边中线的交点 性质2：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1，即 性质3：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，即 性质4：重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 性质5：是的重心 为的重心 P是△ABC平面内任一点.G是△ABC的重心.证明如下： ∵G是△ABC的重心 ∴，即 由此可得. 性质6：已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心. 四、三角形垂心的性质 性质1：垂心为三角形三边高的交点； 性质2：为的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. 同理， 为的垂心 性质3：已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心． 例题1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 解析：如图所示，分别为边的中点. ， ， 例题2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 解析：分别为方向上的单位向量， 平分,点的轨迹一定通过的内心，即选. 例题3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点轨迹一定通过 解析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. = ==+=0 点的轨迹一定通过的垂心，即选. 巩固练习： 练习1：已知O，N，P在所在平面内,, 则点依次是的 ( ) A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 解析：C 练习2：已知点是的重心，内角所对的边长分别为，且，则角的大小是 . 解析： ∵点是的重心，∴ 又∵ ∴ ，∴ 练习3：已知是所在平面内任意一点，且,则是的（ ） 外心 内心 重心 垂心 解析：C ∴是的重心 练习4：是所在平面内一定点，若动点满足 ,则的轨迹一定经过的（ ） 外心 内心 重心 垂心 解析：B